湖北省黄冈市2013届高三4月份模拟考试

数学（文）试题

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选英中，只有一个是符合题目要求的）

1．集合
集合
等于

A．
B．
C．
D．

2．在
上随机取一个数x，则
的概率为

A．
B．
C．
D．

3．给出下列命题：

（1）直线a与平面
不平行，则a与平面
内的所有直线都不平行；

（2）直线a与平面
不垂直，则a与平面
内的所有直线都不垂直；

（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；

（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面。

其中错误命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

4．一个三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积为

A．
B．

C．
D．

5．若复数
是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为

A．—2 B．2 C．1 D．—1

6．下列函数中与函数

奇偶性相同且在（—
，0）上单调性也相同的是

A．
B．
C．
D．

7．已知
，lny成等比数列，则xy

A．有最大值e B．有最大值
C．有最小值e D．有最小值

8．设斜率为
的直线l与椭圆
交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为

A．
B．
C．
D．

9．若函数
在区间
内单调递增，则a的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
上的偶函数，当
时，

的零点个数为

A．4 B．6 C．8 D．10

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。

11．一组样本数据的茎叶图如右：

，

则这组数据的平均数等于 .

12．若向量
相互垂直，则

的最小值为 .

13．某容量为180的样本的频率分布直方图共有n（n>1）个

小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余n-1的小矩形

的面积之和的
，则第一个小矩形对应的频数是 .

14．右图中，
为某次考试三个评阅人对同一道题的

独立评分，P为该题的最终得分。当
，

时，
等于 .

15．设函数
满足

.

16．实数x、y满足
若目标函数
取得最大值4，则实数a的值为 .

17．下列四个命题

①“函数
是奇函数”的充要条件是

②“若
”的否命题；

③在△ABC中，“A>30°”是“sinA
”的充分不必要条件；

④“函数
为奇函数”的充要条件是“
”

其中真命题的序号是 。（把真命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分12分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在+20—80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于碎酒驾车，某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾驶员共20人，检测结果如下表：

（1）求检测数据中醉酒驾驶的频率；

（2）估计检测数据中酒精含量的平均数。

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C。

（1）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；

（2）若AB=2，求三棱柱ABC—A1B1C1体积。

20．（本小题满分13分）某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD再用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC。

（1）设AB=x米，cosA=f(x)，求
的解析式，并指出x的取值范围；

（2）求四边形ABCD面积的最大值。

21．（本小题满分14分）已知抛物线
的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A（
），B（
）两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M.

（1）求A，B两点的横坐标之积；

（2）求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；

（3）设直线MF交该抛物线于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值。

22．（本小题满分14分）已知函数

（1）求
时，
取得极值，求a的值；

（2）求
在[0，1]上的最小值；

（3）若对任意
直线
都不是曲线
的切线，求a的取值范围。

参考答案

一、选择题（每小题正确答案均唯一，每小题5分共50分）

CDCAB CCDBD

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

11. 25 12. 6 13. 30 14. 8 15. 0 16. 2 17. ②

三、解答题：（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.解：（Ⅰ）所求频率为
………………5分

（Ⅱ）估计所求平均数为

……………12分

19解：（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．

又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，

又AB(平面AA1B1B，所以平面AA1B1B⊥BB1C1C． …4分



（Ⅱ）由题意，CB＝CB1，设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1．

由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO＝BC＝AB＝．

连结AB1，则VC-ABB1＝S△ABB1·CO＝AB2·CO＝． …8分

因VB1-ABC＝VC-ABB1＝VABC-A1B1C1＝，

故三棱柱ABC-A1B1C1的体积VABC-A1B1C1＝2． …12分

20解：（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理得

BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA．

同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC． ………………… 2分

因为∠A和∠C互补，

所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC

＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA． ………… 3分

即 x2+(9－x)2－2 x(9－x) cosA＝x2+(5－x)2＋2 x(5－x) cosA．　

解得 cosA＝，即f( x)＝．其中x∈(2，5)．　　 ……………………… 5分

（Ⅱ）四边形ABCD的面积

S＝(AB·AD+ CB·CD)sinA＝[x(5－x)+x(9－x)]．　

＝x(7－x)＝＝．………… 8分

所以g(x)＝(x2－4)( x2－14x＋49)，x∈(2，5)．

由g′(x)＝2x( x2－14x＋49)＋(x2－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x2－7 x－4)＝0，

解得x＝4(x＝7和x＝－舍)． ……………………… 10分

所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．

因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．……………………… 12分

四边形ABCD的面积最大值为6

答：四边形ABCD的面积最大值为6． ……………………… 13分

21解（Ⅰ）由已知，得
，显然直线
的斜率存在且不为0，

则可设直线
的方程为
（
），
，
，

由
消去
，得
，显然
.

所以
，
.

即
，
两点的横坐标之积为-4 ………………………………………………4分

（Ⅱ）由
，得
，所以
，所以，直线
的斜率为
，

所以，直线
的方程为
，又
，

所以，直线
的方程为
①.

同理，直线
的方程为
②.

②-①并据
得点M的横坐标
，

即
，
，
三点的横坐标成等差数列. ……………………9分

（Ⅲ）由①②易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）(
).

所以
，则直线MF的方程为
，

设C(x3,y3),D(x4,y4)

由
消去
，得
，显然
，

所以
，
.

又

.

.……………12分

因为
，所以
，

所以，
，

当且仅当
时，四边形
的面积取到最小值
.……………………14分

22.

(III)因为
，直线
都不是曲线
的切线，

所以
对
成立，

只要
的最小值大于
即可，

而
的最小值为

所以
，即
………………14分