宁波市2013年高考模拟试卷

数学（理科）试卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

第Ⅰ卷（选择题部分　共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M={-1,0,1}，N={x | x2 ≤ x}，则M∩N =

（A）{0} （B）{0,1} 　（C）{-1,1} 　（D）{-1,0}

2．函数
是

（A）周期为
的偶函数 （B）周期为2
的偶函数

（C）周期为
的奇函数 （D）周期为2
的奇函数

3．已知某几何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积是

（A）
（B）

（C）
（D）

4．已知点P（3,3），Q（3,-3），O为坐标原点，动点M（x, y）满足
，则点M所构成的平面区域的面积是

（A）12 （B）16 　（C）32 （D）64

5．已知
R，条件p：“
”，条件q：“
”，则p是q的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

6．在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”．现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势．设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的数学期望是

（A）
（B）
　（C）
（D）1

7．已知数列
是1为首项、2为公差的等差数列，
是1为首项、2为公比的等比

数列．设
，
，则当Tn>2013时，n的最小值是

（A）7 （B）9 　（C）10 （D）11

8．已知空间向量
满足
，且
的夹角为
，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足
，
，则△OAB的面积为

（A）
（B）
　（C）
　 （D）

9．设函数
的导函数为
，对任意
R都有
成立，则

（A）
（B）

（C）
（D）
的大小不确定

10．三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形．已知点A是椭圆的一个短轴端点，如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是

（A）
（B）
（C）
　 （D）

第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)

二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

11．已知i是虚数单位，复数
的虚部是 ▲ ．

12．执行如图所示的程序框图，则输出的k值是 ▲ ．

13．
的展开式的常数项是 ▲ ．

14．设函数
，若函数

为偶函数，则实

数
的值为 ▲ ．

15．从6名候选人中选派出3人参加
、
、
三项活动，

且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加
活动，则

不同的选派方法有 ▲ 种．

16．已知曲线
：
和
：
，直线
与
、
分别相切于点A、B，直线
（不同于
）与
、
分别相切于点C、D，则AB与CD交点的横坐标是 ▲ ．

17．在直角坐标平面上，已知点A（0,2），B（0,1），D（t,0）（t>0）．点M是线段AD上

的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
，已知函数

R）．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）若函数
在
处取得最大值，求
的值．

19．（本题满分14分）设公比大于零的等比数列
的前
项和为
，且
，

，数列
的前
项和为
，满足
，
，
．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）设
，若数列
是单调递减数列，求实数
的取值范围．

20．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为

菱形，且∠ABC =60(，AB=PC=2，AP=BP=
．

（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

21．（本题满分15分）如图，已知椭圆E：
的离心率是
，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足
．

(Ⅰ) 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；

(Ⅱ) 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两

点,连结AF并延长交椭圆于点C，连结

BF并延长交椭圆于点D．

① 求证： B、C关于x轴对称;

② 当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

22．（本题满分14分）设函数
，其中
．

（Ⅰ）如果
是函数
的一个极值点，求实数a的值及
的最大值；

（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f(x)同时具备如下的两个性质：

① 对于任意实数
且
，
恒成立；

② 对于任意实数
且
，
恒成立．

宁波市2013年高考模拟试卷

数学（理科）参考答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分．

1．B　　2．D　　3．A　　4．C　　5．A　

6．D　　7．C　　8．B　　9．C　　10．D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．

11．
12．3 13．
14．

15．100 16．
17．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）依题意，
…………2分

………5分

所以函数
的最小正周期是
,
有最大值
． ……………7分

（Ⅱ）由（I）知：由
，得
， 所以
．

．

……………14分

19．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）由
，
得
………………3分

又
（
，

则得

所以
，当
时也满足． ……………7分

（Ⅱ）
，所以
，使数列
是单调递减数列，

则
对
都成立， ……………10分

即
， ……………12分

，

当
或
时，
所以
． ……………14分

20．（本题满分15分）

解：（Ⅰ）如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．

则PE是等腰△PAB的底边上的中线，所以PE⊥AB．……………2分

PE=1，CE=
，PC=2，即
．

由勾股定理可得，PE⊥CE．……………4分

又因为AB(平面ABCD，CE(平面ABCD，

且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．

……………5分

而PE(平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD．……………7分

（Ⅱ）（方法1）如图1，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．

过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH．

因为AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．

又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．

已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．

故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角． ……10分

由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．

而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因为AH⊥平面PCD，所以AH∥EF．

由于AB∥平面PCD，所以A、E两点到平面PCD的距离相等，故AH=EF．

所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF． ……………13分

在Rt△AEF中，AE=1，EF=
，AF=
，所以
．

即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是
． ……………15分

（方法2）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0,-1,0），C（
,0,0），D（
,-2,0），P（0,0,1），

=（
,1,0），
=（
,0,-1），

=（0,2,0）． ……………9分

设
是平面PAC的一个法向量，

则
，即
．

取
，可得
，

． …………11分

设
是平面PCD的一个法向量，则
，即
．

取
，可得
，
． ……………13分

故
，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是
．

……………15分

21．（本题满分15分）

解：（Ⅰ）设点F（c,0），Q（x,0）（
）．

由
，

可得
，解得
．

……………2分

依题意
，即
．………4分

又因为
，所以
．

故椭圆的方程是
，点Q的坐标是（2,0）． ……………6分

（Ⅱ）① 设直线l的方程为
，代入椭圆E的方程可得

依题意，
，
．

此时，若设
，则
，
．（*）

……………8分

点B关于x轴的对称点B1（
），则A、F、B1三点共线等价于

由（*）可知上述关系成立．

因此，点C即是点B1，这说明B、C关于x轴对称．……………10分

② 由① 得B、C关于x轴对称，同理，A、D关于x轴对称．

所以，四边形ABCD是一个等腰梯形．则四边形ABCD的面积

． ……………12分

设
，则
，