广东省潮州市2013年第二次模拟考试

数学试卷（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回。

第一部分 选择题（共40分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设
为虚数单位，则复数
等于

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，
，
，则

A. 0 B. 3 C. 4 D. 3或4

3．已知向量
，
，则

A．
B.
C.
D.

4、函数f（x）＝｜x－2｜－lnx在定义域内的零点个数为

A、0　　B、1　　C、2　　D、3

5．已知实数
满足
，则目标函数
的最大值为

A．
B．
C．
D．

6.已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积

A．
B．
C．
D．

7.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件
=“取到的2个数之和为偶数”，事件
=“取到的2个数

均为偶数”，则
= （ ）.

(A)
(B)
(C)
(D)

8．设向量
，
，定义一运算：
,

已知
，
。点Q在
的图像上运动，且满足
（其中O为坐标原点），则
的最大值及最小正周期分别是

A．
B．
C．
D．

第二部分 非选择题（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 已知不等式
的解集与不等式
的解集

相同,则
的值为

10. 若

n的展开式中所有二项式系数之和为64，则

展开式的常数项为 .

11.已知等差数列
的首项
，前三项之和
，则

的通项
．

12. 计算
= .

13．如图，是一程序框图，则输出结果为

，
. 。

(说明，
是赋值语句，也可以写成
，或

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆
的割线
交圆

于
、
两点，割线
经过圆心。已知
，

，
。则圆
的半径
．

⒖（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系
（
）中，直线
被圆
截得的弦的长是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）设
，求
的值域和单调递增区间．

17．（本小题满分12分）某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。

（1）根据以上数据完成以下2×2列联表：

?

喜爱运动

不喜爱运动

总计



男

10

?

16



女

6

?

14



总计

?

?

30



 （2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？

（3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为
，求
的分布列和均值。

参考公式：
，其中

参考数据：

0.40

0.25

0.10

0.010





0.708

1.323

2.706

6.635





18．（本题满分14分）

如图所示，已知
为圆
的直径，点
为线段
上一点，

且
，点
为圆
上一点，且
．

点
在圆
所在平面上的正投影为点
，
．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值．

19．(本题满分14分)

已知数列
满足：
，且

（
）．

（Ⅰ）求证：数列
为等差数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）求下表中前
行所有数的和
．

20．（本题满分14分）

设椭圆
的左右顶点分别为
，离心率
．

过该椭圆上任一点
作
轴，垂足为
，点
在
的延长线上，且
．

（1）求椭圆的方程；

（2）求动点
的轨迹
的方程；

（3）设直线
（
点不同于
）与直线
交于点
，
为线段
的中点，试判断直线
与曲线
的位置关系，并证明你的结论．

21．（本题满分14分）

设
,函数
.

（Ⅰ）证明:存在唯一实数
，使
；

（Ⅱ）定义数列
:
,
,
.

（i）求证:对任意正整数n都有
；

(ii) 当
时, 若
，

证明:对任意
都有:
.

广东省潮州市2013年第二次模拟考试数学试卷（理科）

答题卷

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9． ； 10． ； 11． ； 12． ； 13． ； 。

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14（15）.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(12分)

17．（12分）

（1）根据以上数据完成以下2×2列联表：

?

喜爱运动

不喜爱运动

总计



男

10

?

16



女

6

?

14



总计

?

?

30





18．（14分）

19．（14分）

20．（14分）

21．（14分）

广东省潮州市2013年第二次模拟考试

数学（理科）参考答案及评分标准

说明：

1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

C

C

C

B

B

C



二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．－1 __ ． 10． －160 ． 11．
． 12．
． 13．11,
．（2分，3分）

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

⒕
； ⒖
．

2.解析：
3或4

7.提示：“从1，2，3，4，5中任取2个不同的数”一共有
种不同选取方式，其中满足事件
的有
种选取方式，所以
，而满足事件
要求的有
种，即
，再由条件概率计算公式，得

16．（本小题满分12分）

网解：（Ⅰ）∵

. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　 …………………… 3分

的最小正周期为
． ………… 5分

（Ⅱ）∵
，
，
．

的值域为
． 　 　 ……………… 10分

当
递减时，
递增．　　　　　　　　　　　　

，即
．

故
的递增区间为
． 　 　 ……………………12分

17．解：（1）

?

喜爱运动

不喜爱运动

总计



男

10

6

16



女

6

8

14



总计

16

14

30



 ……2分

（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：

因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6分

（3）喜爱运动的人数为
的取值分别为：0，1，2，其概率分别为：

……8分

喜爱运动的人数为
的分布列为：

0

1

2



P









 ……10分

所以喜爱运动的人数
的值为：
… 12分

18．（本题满分14分）

解析：（Ⅰ）法1：连接
，由
知，点
为
的中点，

又∵
为圆
的直径，∴
，

由
知，
，

∴
为等边三角形，从而
．-----------------3分

∵点
在圆
所在平面上的正投影为点
，

∴
平面
，又
平面
，

∴
，-----------------5分

由
得，
平面
，

又
平面
，∴
． -----------------6分

（注：证明
平面
时，也可以由平面
平面
得到，酌情给分．）

法2：∵
为圆
的直径，∴
，

在
中设
，由
，
得，
，
，