天津南开中学2013届高三第四次月考

数学试卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷

本卷共8小题，每小题5分，共40分。

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i是虚数单位，复数
＝（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知条件
，条件
，且
是
的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为（ ）

A. －1 B. 1 C. 3 D. 9

4. 数列
的前n项和为
，则数列
的前50项的和为（ ）

A. 49 B. 50 C. 99 D. 100

5. 二项式
的展开式中的常数项是（ ）

A. －28 B. －7 C. 7 D. 28

6. 为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）

A. 向左平移
个长度单位 B. 向右平移
个长度单位

C. 向左平移
个长度单位 D. 向右平移
个长度单位

7. 平面向量
与
的夹角为
，
，则
＝（ ）

A.
B.
C. 7 D. 3

8. 设
是定义在R上的周期函数，周期为
，对
都有
，且当
时，
，若在区间
内关于x的方程
＝0
恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（ ）

A. （1，2） B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 某校高中生共有2000人，其中高一年级560人，高二年级640人，高三年级800人，现采取分层抽样抽取容量为100的样本，那么高二年级应抽取的人数为 人。

10. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为 。

11. 已知变量x，y满足约束条件
，则
的最大值为 。

12. 已知双曲线
的左右焦点为
，P为双曲线右支上的任意一点，若
的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围是 。

13. 如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝
，AB＝BC＝3，则AC的长为 。

14. 若不等式
对任意
都成立，则实数a取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. （本小题13分）已知向量
，函数
·

（1）求函数
的最小正周期T及单调减区间

（2）已知
分别是△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，
且
，求A，b和△ABC的面积S

16. （本小题13分）张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个公交站，这四个公交站将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟，假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是

（1）求张师傅此行时间不少于16分钟的概率

（2）记张师傅此行所需时间为Y分钟，求Y的分布列和均值

17. （本小题13分）如图，已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝

（1）求证：平面EAB⊥平面ABCD

（2）求二面角A－EC－D的余弦值

18. （本小题13分）已知数列
满足
，

（1）证明：数列
是等比数列，并求出
的通项公式

（2）设数列
的前n项和为
，且对任意
，有
成立，求

19. （本小题14分）设点P是曲线C：
上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为

（1）求曲线C的方程

（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为
的直线交C与另一点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。

20. （本小题14分）已知函数
的最小值为0，其中
。

（1）求a的值

（2）若对任意的
，有
成立，求实数k的最小值

（3）证明

【试题答案】

一、选择题

1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A 7. A 8. D

二、填空题

9. 32 10.
11. 11

12.
13.
14.

三、解答题

15. 解：

（1）

所以，最小正周期为

所以，单调减区间为

（2）
，

，

由
得
，解得

故

16. 解：（1）

（2）记张师傅此行遇到红灯的次数为X，则

，
，依题意，
，则Y的分布列为

Y

15

16

17

18

19



P













Y的均值为

17. 解：（1）证明：取AB的中点O，连接EO，CO

△AEB为等腰直角三角形

∴EO⊥AB，EO＝1

又∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，

，又

∵EO⊥平面ABCD，又EO平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD

（2）以AB的中点O为坐标原点，OB所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，如图建系则
，
，
＝（0，2，0）

设平面DCE的法向量为
，则
，即
，解得：

同理求得平面EAC的一个法向量为

，所以二面角A－EC－D的余弦值为

18. 解：（1）由
可得
，

是以2为首项，3为公比的等比数列

（2）
时，

时，

设

则

综上，

19. 解：（1）依题意知
，解得
，所以曲线C的方程为

（2）由题意设直线PQ的方程为：
，则点

由
，
，得
，

所以直线QN的方程为

由
，

得

所以直线MN的斜率为

过点N的切线的斜率为

所以
，解得

故存在实数k＝
使命题成立。

20. 解：（1）
的定义域为

，由
，得
，

当x变化时，
的变化情况如下表：

x











－

0

＋





↘

极小值

↗



因此，
在
处取得最小值，故由题意
，所以
。

（Ⅱ）解：当
时，取
，有
，故
不合题意。

当
时，令
，即
。

，令
，得

－1。

（1）当
时，
在
上恒成立，因此
在
上单调递减，从而对于任意的
，总有
，即
在
上恒成立。

故
符合题意。

（2）当
时，
，对于
，
，故
在
内单调递增，因此当取
时，
，即
不成立。

故
不合题意，

综上，k的最小值为
。

（Ⅲ）证明：当n＝1时，不等式左边
＝右边，所以不等式成立。

当
时，

。

在（Ⅱ）中取
，得

，从而

，

所以有

。

综上，
。