东城区普通高中示范校高三综合练习(二)

高三数学（理）2013.3

一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，
，则
（ ）

A．
B.
C.
D.

2．已知复数
(
),则“
”是“为纯虚数”的（ ）

A．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件

3．在极坐标系中，过点
且垂直于极轴的直线方程（　　　）

　　A．
　 B.
　 C.
　 D.

4．如果执行右面的程序框图，那么输出的
（ ）

A.96 B. 120 C.144 D. 300

5．已知
满足
，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）

A． B. C. D.7．已知数列
满足
，若
是递减数列，则实数的取值范围是(　　)

A. B. C.  D. 

8．已知函数
则下列结论正确的是（ ）

A．
在
上恰有一个零点　　 　　B.
在
上恰有两个零点

C.
在
上恰有一个零点　 　 D.
在
上恰有两个零点

二.填空题（每题5分,共6小题）

9．已知随机变量
的分布列如下，则
的值等于　　　　



















10．若双曲线
与直线
无交点，则离心率的取值范围是 .

11.如图，是圆的切线，切点为，点在圆内，
与圆相交于，若
，
，
，则圆的半径为 .

12．在
中，为
中点，若
，
，则
的最小值是 .

13．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）

14．已知直线
，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于
，则称此曲线为直线的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：①
；②
；③
．其中直线的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.(本小题满分13分) 已知函数
其中
,
.

（1）求函数
的值域；

（2）若函数
的图象与直线
的两个相邻交点间的距离为
，求函数
的单调增区间.

16．(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．

(1) 试估计这40名学生成绩的众数；

(2) 试估计这40名学生的成绩在
之间的人数；

(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在
之间的概率．

17. (本小题满分13分) 在四棱锥
中，底面
为矩形，
，
，
，
，
分别为
的中点．

（1）求证：
；

（2）求证：
平面
；

（3）线段
上是否存在一点，使得平面
平面
，若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．

18. (本小题满分13分) 设

（1）若
在
上存在单调递增区间，求的取值范围；

（2）当
时，
在
上的最小值为
，求
在该区

间上的最大值.

19．(本小题满分14分) 已知平面内一动点到点
的距离与点到轴的距离的差等于1．

（1）求动点的轨迹
的方程；

（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线
，设
与轨迹
相交于点
，
与轨迹
相交于点
，求
的最小值．

20．(本小题满分14分) 已知数集
具有性质：对
，
与
两数中至少有一个属于．

(1) 分别判断数集
与数集
是否具有性质，说明理由；

(2) 求证：
；

(3) 已知数集
具有性质．证明：数列
是等差数列．

东城区普通高中示范校高三综合练习(二)

高三数学（理）参考答案2013.3

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

D

B

A

C

D

C



二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

题号

9

10

11

12

13

14



答案











②③



三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.已知函数
其中
,
.

（1）求函数
的值域；

（2）若函数
的图象与直线
的两个相邻交点间的距离为
，求函数
的单调增区间.

解：（1）
=
…………………………………5分

所以函数
的值域为
…………………………………………………7分

（2）由
得
…………………………………………………9分

所以

由
………………………………………11分

得

所以函数
的单调增区间为

. ………13分

16．某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．

(1) 试估计这40名学生成绩的众数；

(2) 试估计这40名学生的成绩在
之间的人数；

(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在
之间的概率．

解：(1) 77.5； ………………………………………3分

(2) 所求为：直线
与直线
之间的直方图的面积
，

因此，
………………………7分

答：这40名学生的成绩在
之间的有20人．（答19人也算对） ……………8分

(3) 设这5人中恰有2人的成绩在
之间为事件，

因为
……………………………………10分

所以
……………………………………12分

答：这5人中恰有2人的成绩在
之间的概率为0．3087． ………13分

17. 在四棱锥
中，底面
为矩形，
，
，
，
，
分别为
的中点．

（1）求证：
；

（2）求证：
平面
；

（3）线段
上是否存在一点，使得平面
平面
，

若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．

（1）证明：底面
为矩形

…………………………………4分

（2）证明：取
，连接

,

是平行四边形，

//
，
，

//
……………………………………8分

(3)
，以
为坐标原点，以
所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

假设在线段
上存在一点，使得平面
平面
，

设
，

设平面
的法向量为

，
，

令

设平面
的法向量为

令

，解得

线段
上存在点，且当
时，使得平面
平面
. ……………13分

18.设

（1）若
在
上存在单调递增区间，求的取值范围；

（2）当
时，
在
上的最小值为
，求
在该区间上的最大值.

解答 （1）
……………………………2分

在
上存在单调递增区间

存在
的子区间
，使得
时

在
上单调递减

，即
解得

当
时，
在
上存在单调递增区间 ………………………………6分

（2）令

；

在
上单调递减，在
上单调递增

在
上单调递增，在
上单调递减 …………………………………8分

所以
的最大值为

，
………………………10分

解得

……………………13分

19．已知平面内一动点到点
的距离与点到轴的距离的差等于1．

（I）求动点的轨迹
的方程；

（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线
，设
与轨迹
相交于点
，
与轨迹
相交于点
，求
的最小值．

解析：（1）设动点的坐标为
，由题意得
……………2分

化简得

当
时
；当
时

所以动点的轨迹
的方程为
和
（
） ………………………5分

（2）由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设为
，则
的方程为
．

由

设
则

，
…………………………7分

因为
，所以
的斜率为
．设
，则同理可得
，
…………………………8分

…………………………………11分

……………………………13分

当且仅当
即
时，
取最小值16． …………………………14分

20．已知数集
具有性质：对
，
与
两数中至少有一个属于．

(1) 分别判断数集
与数集
是否具有性质，说明理由；

(2) 求证：
；

(3) 已知数集
具有性质．证明：数列
是等差数列．

解：

由于
和
都不属于集合
，所以该集合不具有性质；由于
、
、
、
、
、
、
、
、
、
都属于集合
，所以该数集具有性质． …………………………………………4分

具有性质，所以
与
中至少有一个属于

由
，有
，故

，故

，故

由具有性质知，

又
，

，
，…，
，

从而

故

……………………8分

由(2)可知，

…………………………①

由
知，
，
，…，，
均不属于

由具有性质，
，
，…，，
均属于

，
，
，…，

即
…………………………②

由①②可知

故
构成等差数列． …………………………………13分