闸北区2013学年度第一学期高三数学期末练习卷（一模）

考生注意：

1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．

2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．

3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．

1．已知
，其中是虚数单位，那么实数
．

2．已知
的展开式中，
的系数为
，则
．

3．设
是公比为
的等比数列，且
，则
　　 　．

4．设双曲线
的右顶点为，右焦点为．过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点，则
的面积为　　　　．

5．函数
则
的值为　　　　．

6．一人在海面某处测得某山顶
的仰角为
，在海面上向山顶的方向行进米后，测得山顶
的仰角为
，则该山的高度为 米．（结果化简）

7．已知点在抛物线
上，那么点到点
的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为　　　　．

8．甲、乙、丙
人安排在周一至周五的
天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有　　 　种．

9．（理）设不等式
的解集为，若
，则
．

10．（理）设函数
则方程
的实数解的个数为　　　．

二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

11．（理）曲线
与直线
有公共点的充要条件是【 】

A．
B．
C．
D．

12．已知向量
，
满足：
，且
（
）．则向量
与向量
的夹角的最大值为 【 】

A．
B．
C．
D．

13．以下四个命题中，真命题的个数为 【 】

①集合
的真子集的个数为
；

②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；

③设
，若
，则
且
；

④设无穷数列
的前项和为
，若
是等差数列，则
一定是常数列．

A．
B． C． D．

三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

14．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

已知函数
，
．

（1）请指出函数
的奇偶性，并给予证明；

（2）当
时，求
的取值范围．

15．（理）（本题满分14分）

如图，某农业研究所要在一个矩形试验田
内

种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个

形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区

域之间设有米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为

平方米，问：应怎样设计试验田
的长与宽，

才能使其占地面积最小？最小占地面积是多少？

16．（理）（本题满分15分，第1小题满分7分，第2小题满分8分）

假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念．由指数函数
在实数集上是单调函数，可知指数函数
存在反函数
，

．请你依据上述假设和已知，在不涉及对数的定义和表达形式的前提下，证明下列命题：

（1）对于任意的正实数
，都有

；

（2）函数
是单调函数．

17．（理）（本题满分16分，第1小题满分7分，第2小题满分9分）

设点
，
分别是椭圆
的左、右焦点，为椭圆
上任意一点，且

最小值为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设定点
，已知过点
且与坐标轴不垂直的直线
与椭圆交于、两点，满足
，求的取值范围．

18．（理）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）

若数列
满足：对于
，都有
（常数），则称数列
是公差为
的准等差数列．如：若
则
是公差为
的准等差数列．

（1）求上述准等差数列
的前
项的和
；

（2）设数列
满足：
，对于
，都有
．求证：
为准等差数列，并求其通项公式；

（3）设（2）中的数列
的前项和为
，试研究：是否存在实数，使得数列
有连续的两项都等于
．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

闸北区2013学年度第一学期高三数学期末练习卷答案

一、1．
； 2．2； 3．3； 4．
； 5．
； 6．
；

7．
； 8．20； 9．
； 10．（理）
；（文）2．

二、11．C． 12．B． 13．B．

三、14．解：
（3分）

（1）
，
是非奇非偶函数． （3分）

注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如
，
不是奇函数．

（2）由
，得
，
． （4分）

所以
．即
． （2分）

15．解：设
的长与宽分别为和，则

（3分）

（2分）

试验田
的面积

（2分）

令
，
，则
， （4分）

当且仅当
时，
，即
，此时，
． （2分）

答: 试验田
的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2. （1分）

16．（理）证明：（1）设
，
，由题意，有
，
，（2分）

所以
， （3分）

所以，
，即


． （2分）

（2）当
时，
是增函数．

证明：设
，即
，又由指数函数
是增函数，得

，即

． （4分）

所以，当
时，
是增函数． （2分）

同理，当
时，
是减函数． （2分）

16．（文）解（1）任取
，
，则由
（2分）

由
在区间
上是单调递减函数，有
， （3分）

又由
是奇函数，有
，即
． （3分）

所以，函数
在区间
上是单调递减函数． （1分）

（2）如
或
等 （6分）

17．（理）解：（1）设
，则有
，
（1分）

（3分）

由题意，
， （2分）

所以，椭圆
的方程为
． （1分）

（2）由(1)得
，设
的方程为
， （1分）

代入
，得
（2分）

设
，则
，

设
的中点为
，则
， （2分）

，
，即

（2分）

因为直线
不与坐标轴垂直的，所以

．（2分）

17．（文）解：（1）由题意，可求得
，
． （1分）

设
，则有
，
（3分）

（2分）

所以，
． （1分）

（2）设直线
的方程为
， （1分）

代入
，整理得
，（*） （2分）

因为直线
过椭圆的左焦点
，所以方程*有两个不相等的实根．

设
，
，
中点为
，则

，
，
． （2分）

线段
的垂直平分线
的方程为
． （1分）

令
，则
．（2分）

因为
，所以
．即点
横坐标的取值范围为
． （1分）

18．（理）解：（1）
（4分）

（2）
（
）①

②

②-①得
（
）． （2分）

所以，
为公差为2的准等差数列． （1分）

当为偶数时，
， （2分）

当为奇数时，解法一：
； （2分）

解法二：
；

解法三：先求为奇数时的
，再用①求为偶数时的
同样给分．

（1分）

（3）解一：

当为偶数时，
； （1分）

当为奇数时，

． （1分）

当
为偶数时，
，得
． （1分）

由题意，有
； （1分）

或
． （1分）

所以，
． （1分）

解二：当为偶数时，
,
（1分）

当为奇数时，

． （1分）

以下与解法一相同．

18．（文）解：（1）
，