门头沟区2013年高三年级抽样测试

数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．

第Ⅰ卷 (选择题 40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知全集U
R，集合A
，B
，则集合A
B等于

(A)

(B)

(C)

(D) R



2. “
”是“函数
在区间
上存在零点”的

(A) 充分而不必要条件

(B) 必要而不充分条件



(C) 充分必要条件

(D) 既不充分也不必要条件



3．下列直线中，平行于极轴且与圆
相切的是

(A)

(B)

(C)

(D)



4．有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲校，则不同的保送方案有

(A) 24种

(B) 30种

(C) 36种

(D) 48种



5．如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PA＝AC＝
AB，则以下结论不正确的是

(A) CB＝CP

(B) PC
AC＝PA
BC





(C)PC是圆O的切线

(D) BC
＝BA
BP





6．已知P
是中心在原点，焦距为
的双曲线上一点，且
的取值范围为
，则该双曲线方程是

(A)

(B)



(C)

(D)



7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是

(A)

(B)



(C)

(D)





8．定义在 R上的函数
是减函数，且函数
的图象关于点
成中心对称，若
满足不等式组
，则当
时，
的取值范围是

(A)

(B)

(C)

(D)





第Ⅱ卷 (非选择题110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．复数
，则
．

10．在等差数列
中，
，
，则
等于 ．

11．在
ABC中，若
，
，
，则
．

12．执行如右图所示的程序框图，输出

的S值为 ．

13．在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则向量
．

14．定义在
上的函数
，如果对于任意给定的等比数列
，
仍是等比数列，则称
为“等比函数”。现有定义在
上的如下函数：①
；②
；③
；④
，则其中是“等比函数”的
的序号为 　 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

已知：函数
．

（Ⅰ）求函数
的对称轴方程；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值和最小值．

16．（本小题满分14分）

在等腰梯形ABCD中，
，
，
，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转
，得到梯形
（如图）．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

17．（本小题满分13分）

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．

早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．

（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？

（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？

（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

18．(本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）函数
在点
处的切线与直线
平行，求
的值；

（Ⅱ）当
时，
恒成立，求
的取值范围．

19．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系
中， 动点
到直线
的距离是到点
的距离的
倍．

（Ⅰ）求动点
的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线
与（Ⅰ）中曲线交于点
，与
交于点
，分别过点
和
作
的垂线，垂足为
，问：是否存在点
使得
的面积是
面积的9倍？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分13分）

对于集合
，定义函数
，对于两个集合
，定义集合
．已知
，
．

（Ⅰ）写出
与
的值，并用列举法写出集合
；

（Ⅱ）用
表示有限集合
所含元素的个数，求
的最小值；

（III）有多少个集合对
，满足
，且
．

门头沟区2013年高三年级抽样测试数学试卷（理工类）

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1

2

3

4

5

6

7

8



A

C

B

A

D

C

C

D



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9

10

11

12

13

14













③④



三、解答题：本大题共6小题，共80分．

15．（本小题满分13分）

已知：函数
．

（Ⅰ）求函数
的对称轴方程；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）

…………………………… 5分

…………………………… 7分

函数关于直线
对称

所以 对称轴方程为
…………………………… 9分

（Ⅱ）当
时，

由函数图象可知，
的最大值为1，最小值为
……………………12分

所以函数
的最大值为
，最小值为
………………………13分

16．（本小题满分14分）

在等腰梯形ABCD中，
，
，
，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转
，得到梯形
（如图）．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

（Ⅰ）证明：因为
，N是BC的中点

所以
，又

所以四边形
是平行四边形，所以

又因为等腰梯形，
，

所以
，所以四边形
是菱形，所以

所以
，即

由已知可知 平面
平面
，

因为 平面
平面

所以
平面
……………………………4分

（Ⅱ）证明：因为
，
，

所以平面
平面

又因为
平面
，

所以
平面
…………………………8分

（Ⅲ）因为
平面

同理
平面
，建立如图如示坐标系

设
，

则
,
,
，
， ………………………9分

则
，

设平面
的法向量为
，有
，
，

得
…………………………11分

因为
平面
，所以平面
平面

又
，平面
平面

所以
平面

与
交于点O，O则为AN的中点，O

所以平面
的法向量
……………………12分

所以
……………………………13分

由图形可知二面角
为钝角

所以二面角
的余弦值为
． ……………………………14分

17．（本小题满分13分）

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．

早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．

（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？

（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？

（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

解：（Ⅰ）

这50路段为中度拥堵的有18个． ……………………………3分

（Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则

事件B “至少一个路段严重拥堵”，则

所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是
……………………………8分

（III）分布列如下表：

30

36

42

60





0.1

0.44

0.36

0.1





此人经过该路段所用时间的数学期望是
分钟．……………………………13分

18．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）函数
在点
的切线与直线
平行，求
的值；

（Ⅱ）当
时，
恒成立，求
的取值范围

解： （Ⅰ）
……………………………2分

， ……………………………3分

因为函数
在点
的切线与直线
平行

所以
，
……………………………5分

（Ⅱ）