资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试

数 学（理工农医类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，5}，则

（A）{3} （B）{4，5} （C）{3，4，5} （D）{1，4，5}

2．函数
的图象大致是

3．下列命题是真命题的是

（A）
是
的充要条件 （B）
，
是
的充分条件

（C）
，
（D）
，

4．已知直线l，m和平面α， 则下列命题正确的是

（A）若l∥m，mα，则l∥α （B）若l∥α，mα，则l∥m

（C）若l⊥α，mα，则l⊥m （D）若l⊥m，l⊥α，则m∥α

5．若双曲线
的渐近线与圆
（
）相切，则

（A）5 （B）
（C）2 （D）

6．下列不等式成立的是

（A）

（B）

（C）

（D）

7. 执行右图所示的程序框图（其中
表示不超过x的最大整数），则输出的S值为

（A）7

（B）6

（C）5

（D）4

8．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料l千克、B原料2千克；生产乙产品l桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是

（A）2200元 （B）2400元

（C）2600元 （D）2800元

9．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是

（A）36 （B）48 （C）60 （D）72

10．已知定义在
上的函数
则

（A）函数
的值域为

（B）关于x的方程
（
）有2n＋4个不相等的实数根

（C）当
（
）时，函数
的图象与x轴围成的面积为2

（D）存在实数
，使得不等式
成立

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

注意事项：

1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．

2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．

11．已知i是虚数单位，x，y∈R，若
，则
___________．

12．若二项式
的展开式中含
项的系数为，则实数
．

13．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .

14．椭圆C：
（
）的右焦点为F，直线
与椭圆C交于A、B两点，且
，则椭圆C的离心率为 ．

15．如图，在平面斜坐标系xOy中，
，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若
（其中
，
分别是x轴，y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(x，y)，向量
的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：

①若
，P(2,－1)，则
；

②若
，
，则
；

③若
，
，则
；

④若
，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为
．

其中所有正确的结论的序号是______________．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若
，求a＋b的最大值.

17．（本小题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，并在已被问卷调查的居民中随机抽选部分居民参加“幸福职业”或“幸福愿景”的座谈会，被邀请的居民只能选择其中一场座谈会参加．已知A小区有1人，B小区有3人收到邀请并将参加一场座谈会，若A小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是
， B小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是
．

（Ⅰ）求A、B两个小区已收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等的概率；

（Ⅱ）在参加“幸福愿景”座谈会的人中，记A、B两个小区参会人数的和为
，试求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且
．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；

（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

19．（本小题满分12分）已知数列
的前n项和为
，
（
），
（其中
）．

（Ⅰ）当t为何值时，数列
是等比数列？

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设
，若在数列
中，有
，
，…，
，…成立，求实数λ的取值范围．

20．（本小题满分13分）若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点
．

（Ⅰ）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在该抛物线上，求该等边三角形的边长；

（Ⅱ）过点M作抛物线C的两条弦
，设
所在直线的斜率分别为
, 当
变化且满足
时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

21．（本小题满分14分）已知函数
，
（其中
）．

（Ⅰ）求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
在区间
内有两个零点，求正实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：当
时，
．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）

资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试

数学（理工农医类）参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．

1－5. CABCB；6－10.DADCC.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．

11．3； 12．
； 13．
；14．
；15．①②④．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．解析 （Ⅰ）由
及正弦定理，

得
（
），

∴
，∵△ABC是锐角三角形，

∴
． 6分

（Ⅱ）∵
，
，由余弦定理，
，即
．

8分

∴
，即
，

∴
，当且仅当
取“=”，故
的最大值是4． 12分

17．解析 （Ⅰ）记“A、B两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”为事件A，则
． 4分

（Ⅱ）随机变量
的可能值为0，1，2，3，4．

；

；

；

；

．（每对一个给1分） 9分

的分布列如下：

0

1

2

3

4



P













 10分

∴
的数学期望
． 12分

18．（Ⅰ）证明：取
的中点M，
，

为
的中点，又
为
的中点，∴
，

在三棱柱
中，
分别为
的中点，

，且
，

则四边形A1DBM为平行四边形，
，

，又
平面
，
平面
，

平面
． 6分

（Ⅱ）连接DM，分别以
、
、
所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则
，
，
，
，

∴
，
，
．

设面BC1D的一个法向量为
，面BC1E的一个法向量为
，

则由
得
取
，

又由
得
取
，

则
，

故二面角E－BC1－D的余弦值为
． 12分

19．解析 （Ⅰ）由
，得
（
），

两式相减得
，即
， 2分

∴
，

则
（
）， 4分

由
，又
，则
，

又∵数列
是等比数列，∴只需要
，∴
．

此时，数列
是以
为首项，
为公比的等比数列． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
，∴
， 8分

，

由题意得
，则有
，

即
，

∴
， 10分

而
对于
时单调递减，则
的最大值为
，

故
． 12分

20．解析 （Ⅰ）根据题意，设抛物线C的方程为
，点
的坐标代入该方程，得
，故抛物线C的方程为
． 2分

设这个等边三角形OEF的顶点E，F在抛物线上，且坐标为
，
．

则
，
，又
，

∴
，即
，

∴
，因
，
，

∴
，即线段EF关于x轴对称．

则
，所以
，

即
，代入
得
，

故等边三角形的边长为
． 6分

（Ⅱ）设
、
，则直线MA方程
，MB方程
，

联立直线MA方程与抛物线方程，得
消去x，

得
，

∴
， ①

同理
， ②

而AB直线方程为
，消去x1，x2，得
，

化简得即
③

由①、②，得y1+y2＝
，
，

代入③，整理得
．

由