门头沟区2013年高三年级抽样测试

数学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．

第Ⅰ卷 (选择题40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

已知集合
，
，则集合
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

2．在等差数列
中，
，
，则
的值是

（A）15 （B）30 （C）31 （D）64

3．为得到函数
的图象，可以将函数
的图象

（A）向左平移
个单位 （B）向左平移
个单位

（C）向右平移
个单位 （D）向右平移
个单位

4．如果
的定义域为R，
，若
，
，则
等于

（A）1 （B）lg3-lg2

（C）-1 （D）lg2-lg3

5．如图所示，为一几何体的三视图，

则该几何体的体积是

（A）

（B）

（C）

（D）

6．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足
，且C=60°，则
的值为

（A）
（B）1 （C）
（D）

7. 已知函数
的图象与直线
恰有三个公共点，则实数
的取值范围是

（A）
(B)
(C)
(D)

8．点P是以
为焦点的椭圆上的一点，过焦点
作
的外角平分线的垂线，垂足为M点，则点M的轨迹是

（A）抛物线 （B）椭圆

（C）双曲线 （D）圆

第Ⅱ卷（非选择题110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．复数
在复平面内对应的点到原点的距离是 ．

10．在给定的函数中：①
；②
；③
；④
，既是奇函数又在定义域内为减函数的是 .

11．用计算机产生随机二元数组成区域
，对每个二元数组
，用计算机计算
的值，记“
满足
<1”为事件
，则事件
发生的概率为________.

12．如右图所示的程序框图，执行该程序后

输出的结果是 ．

13．为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学

分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点，

分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查，

并绘制了频率分布直方图（如图），记甲、乙、丙

三个组所调查数据的标准差分别为
，

则它们的大小关系为 ．（用“
”连结）



14．设向量

，

，定义一种向量积：


=


=
．已知
=
，
=
，点
在
的图象上运动，点
在
的图象上运动，且满足
=


+
（其中
为坐标原点），则
的最大值是 ．

解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期及值域.

16. （本小题满分13分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）
在
处的切线与
轴平行，求
的值；

（Ⅱ）求
的单调区间．

17. （本小题满分13分）

如图，已知平面
,
，且
是垂足．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，试判断平面
与平面
是否垂直，并证明你的结论．

18. （本小题满分13分）

某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．

（I）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；

（II）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率．

19. （本小题满分14分）

已知椭圆与双曲线
有相同的焦点，且离心率为
．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若
，求
的面积．

20. （本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，
，满足下列条件

①
；②点
在函数
的图象上；

（I）求数列
的通项
及前
项和
；

（II）求证：
．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

门头沟区2013年高三年级抽样测试评标及参考答案

数学（文史类）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1

2

3

4

5

6

7

8



C

A

B

A

D

C

A

D



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9

10

11

12

13

14





①



-1



3



解答题：本题共6小题，共80分．

15.（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期及值域.

解：（I）由已知，得
……2分

……5分

（II）

函数
的最小正周期
……11分

值域为
……13分

16．（本小题满分13分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）
在
处的切线与
轴平行，求
的值；

（Ⅱ）求
的单调区间．

解：（Ⅰ）
． ……2分

依题意，由
，得
． ……4分

经检验，
符合题意． ……5分

（Ⅱ）① 当
时，
．

故
的单调减区间为
，
；无单调增区间． ……6分

② 当
时，
．

令
，得
，
． ……8分

和
的情况如下：





























↘



↗



↘



故
的单调减区间为
，
；单调增区间为
．

……11分

③ 当
时，
的定义域为
．

因为
在
上恒成立，

故
的单调减区间为
，
，
；无单调增区间． ……13分

17. （本小题满分13分）

如图，已知平面
，且
是垂足．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，试判断平面
与

平面
是否垂直，并证明你的结论．

（Ⅰ）证明：因为
，所以
．

同理
．

又
，故
平面
． ……5分

（Ⅱ）平面
与平面
垂直

证明：设
与平面
的交点为
，连结
、
．

因为
，所以
， ……8分

在
中，
，

所以
，即
． ……11分

在平面四边形
中，
，所以

又
，所以
，

所以平面
平面
． ……13分

18. （本小题满分13分）

某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．

（I）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；

（II）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率

解：设高中部三名候选人为A1，A2，B．初中部三名候选人为a,b1,b2

（I）由题意，从初高中各选1名同学的基本事件有

（A1，a），（A1，b1），（A1，b2），

（A2，a），（A2，b1），（A2，b2），

（B，a），（B，b1），（B，b2）， 共9种 ……2分

设“2名同学性别相同”为事件E，则事件E包含4个基本事件，

概率P(E)=

所以，选出的2名同学性别相同的概率是
． ……6分

（II）由题意，从6名同学中任选2人的基本事件有

（A1 ，A2），（A1，B），（A1，a），（A1，b1），（A1，b2），

（A2，B）， （A2，a），（A2，b1），（A2，b2），（B，a），

（B，b1），（B，b2），(a，b1)，（a，b2），（b1，b2） 共15种 ……8分

设“2名同学来自同一学部”为事件F，则事件F包含6个基本事件，

概率P(F)=

所以，选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是
． ……13分

19. （本小题满分14分）

已知椭圆与双曲线
有相同的焦点，且离心率为
．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若
，求
的面积．

解：（I）设椭圆方程为
，
，

由
，可得
，

既所求方程为
……5分

（II）设
，
，

由
有

设直线方程为
，代入椭圆方程整理，得

……8分

解得
……10分

若
，

则

解得
……12分

又
的面积

答：
的面积是
……14分

20. （本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，
，满足下列条件

①
；②点
在函数
的图象上；

（I）求数列
的通项
及前
项和
；

（II）求证：
．

解：（I）由题意
……2分

当
时

整理，得
……5分

又
，所以
或