东城区普通高中示范校高三综合练习（二）

高三数学（文科） 2013.3

命题学校：北京五十五中学

学校： 班级： 姓名： 成绩：

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项。

1.设集合
，
，则下列结论中正确的是

A.

B.

C.

D.



2.若复数满足
（为虚数单位），则等于

A.

B.

C.

D.



3.“
”是“直线
和直线
互相垂直”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件



C.充要条件

D.既不充分也不必要条件



4.若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱

柱的体积为

A.

B.



C.

D.



5.在
中，内角
所对边的长分别为

，若
，则
的形状是

A.锐角三角形

B.钝角三角形



C.直角三角形

D.不确定



6.若定义域为的函数
不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是

A.

B.



C.

D.



7.已知不等式组
表示的平面区域为，不等式组
表示的平面区域为
.若在区域内随机取一点，则点在区域
内的概率为

A.

B.

C.

D.



8.如图，矩形
的一边
在轴上，另外两个顶点
在函数

的图象上.若点
的坐标为

，记矩形
的周长

为
，则

A.208

B.212



C.216

D.220



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.已知
，则
的值等于_______________.

10.已知
，且
与垂直，则向量与
的夹角大小是___________.

11.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是___________．

12.设函数
则函数

的零点个数为_____________.

13.若抛物线
上的一点
到坐标原点
的距离为
，则点

到该抛物线焦点的距离为_______________.

14.对于函数
，若存在区间
，使得
，则称区间
为函数
的一个“稳定区间”.给出下列三个函数：

①
；②
；③
.

其中存在稳定区间的函数有_________________.（写出所有正确的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题共13分）

已知函数
的图象的一部分如图所示．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）求函数

的最大值和最小值．

16.（本小题共13分）

为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：

组别

候车时间

人数



一



2



二



6



三



4



四



2



五



1



（Ⅰ）求这15名乘客的平均候车时间；

（Ⅱ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（Ⅲ）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

17.（本小题共13分）

如图，四边形
为矩形，
平面
，
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）设
是线段
的中点，试在线段
上

确定一点
，使得
平面
.

18.（本小题共13分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求
的极值；

（Ⅱ）求
的单调区间.

19.（本小题共14分）

已知椭圆
的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为
，且其右焦点到直线
的距离等于3．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)是否存在经过点
，斜率为
的直线
，使得直线
与椭圆
交于两个不同的点
，并且
？若存在，求出直线
的方程；若不存在,请说明理由．

20.（本小题共14分）

已知函数
，当
时，
的值中所有整数值的个数记为
.

（Ⅰ）求
的值，并求
的表达式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
；

（Ⅲ）设
，
，若对任意的
，都有

成立，求的最小值.

东城区普通高中示范校高三综合练习（二）

高三数学（文科）答题纸 2013,3

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9._____________ 10.______________ 11.____________

12.____________ 13.______________ 14.____________

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（本小题共13分）

（Ⅰ）

（Ⅱ）

16.（本小题共13分）

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

17.（本小题共13分）

（Ⅰ）

（Ⅱ）

18.（本小题共13分）

（Ⅰ）

（Ⅱ）

19.（本小题共14分）

（Ⅰ）

（Ⅱ）

20.（本小题共14分）

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

东城区普通高中示范校高三综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）B （3）C （4）A

（5）B （6）D （7）A （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）
（11）4

（12）3 （13）
（14）①②

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15.（共13分）

解：（Ⅰ）由图可知：
，-------------------------------1分

最小正周期
，所以
.----------------------2分

，即
，又
，所以
.--------5分

所以
.---------------------------------6分

（Ⅱ）

.--------------------------------------------9分

由
得
，-----------------------11分

所以，当
，即
时，取最小值
；--------12分

当
，即
时，取最大值
.----------------13分

16.（共13分）

解：（Ⅰ）由图表得：

，所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟.---------3分

（Ⅱ）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于
.------6分

（Ⅲ）设第三组的乘客为
，第四组的乘客为
，“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.-------------------------------------7分

所得基本事件共有15种，即

，--------------10分

其中事件包含基本事件8种，由古典概型可得
，即所求概率等于
.--------------------------------------------------------13分

17.（共13分）

证明：（Ⅰ）∵
，

∴
，

∴
.----------------------2分

∵
平面
，

∴
，又
，

∴
，---------------------4分

又
，

∴
平面
，

∴
.----------------------6分

（Ⅱ）设
的中点为，
的中点为
，连接
，----7分

又
是
的中点，

∴
，
.

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
.-----------------------------9分

同理可证
平面
，

又
，

∴平面
平面
，

∴
平面
.----------------------------12分

所以，当
为
中点时，
平面
.------13分

18.（共13分）

解：（Ⅰ）当
时，
，

.----------------------------2分

由
得
（舍）或
.---------------------------3分

当
时，
，当
时，
，

所以，当
时，
取极大值
，
无极小值.-------6分

（Ⅱ）
，------------------------8分

当
时，在区间
上
，所以
的增区间是
；

-------------9分

当
时，由
得
或
.

当
时，在区间
上
，在区间
上
，

所以
的增区间是
，减区间是
；----------------11分

当
时，在区间
上
，在区间
上
，

所以
的增区间是
，减区间是
.------------13分

19.（共14分）

解：（Ⅰ）设椭圆
的方程为
，其右焦点的坐标为
.

由已知得
.由
得
，所以
.----4分

所以，椭圆
的方程为
.-------------------------------5分

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线
，设
，

的中点为.---------------------------------------------6分

由
得
，------------------8分

则
，且由
得
.------------------10分

由
得
，所以
，----------------11分

即
，

所以，
，将
代入解得

，

所以
.--------------------------------------------13分

故存在满足条件的直线，其方程为
.-------------14分

【注】其它解法酌情给分.

20.（共14分）

解：（Ⅰ）当
时，
在
上递增，

所以，
，
.----------------------------2分

因为
在
上单调递增，

所以，
，

从而
.------------------4分

（Ⅱ）因为
，-------------------5分

所以

.----------------------------6分

当是偶数时，
-----7分

；-----------------8分

当是奇数时，

.--------------------------------------------------10分

（Ⅲ）
，-----------------------------------11分

，

，

错位相减得
，-----------12分

所以，
.---------------------------------------13分

因为
,

若对任意的
，都有
成立，则
，

所以，的最小值为
.----------------------------------------14分