海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （理科） 2013.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.集合
，则

A.
B.
C.
D.

2.在极坐标系中, 曲线
围成的图形面积为

Ａ.
　　　　B.
　　 　Ｃ.
　　　 Ｄ.

3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的
值为5，则输出的
值为

Ａ.
B.
C.
D.

4.不等式组
表示面积为1的直角三角形区域，则
的值为

Ａ.
B.
C.
D.

5. 若向量
满足
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有

A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种

7. 抛物线
的焦点为
，点
为该抛物线上的动点，又点
，则
的最小值是

A.
B.
C.
D.

8. 设
为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：

①

，使得
是直角三角形；

②

，使得
是等边三角形；

③三条直线上存在四点
，使得四面体
为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.

其中，所有正确结论的序号是

A. ① B.①② C. ①③ D. ②③

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.在复平面上，若复数
（
）对应的点恰好在实轴上，则
=_______.

10.等差数列
中,
, 则

11.如图，
与
切于点
，交弦
的延长线于点
，

过点
作圆
的切线交
于点
. 若
，
，

则弦
的长为_______.

12.在
中，若

，则

13.已知函数
有三个不同的零点，则实数
的取值范围是_____.

14.已知函数
，任取
，定义集合：

，点
，
满足
.

设
分别表示集合
中元素的最大值和最小值，记
. 则

（1）函数
的最大值是_____；

（2）函数
的单调递增区间为________.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的值和
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值和最小值.

16.（本小题满分13分）

在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.

（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10

人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.

17.（本小题满分14分）

在四棱锥
中，
平面
，
是正三角形，
与
的交点
恰好是
中点，又
，
，点
在线段
上，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
平面
;

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

18.（本小题满分13分）

已知函数
(其中
为常数且
)在
处取得极值.

(I) 当
时，求
的单调区间；

(II) 若
在
上的最大值为
，求
的值.

19.（本小题满分14分）

已知圆
：
（
）.若椭圆
：
（
）的右顶点为圆
的圆心，离心率为
.

（I）求椭圆
的方程；

（II）若存在直线
：
，使得直线
与椭圆
分别交于
，
两点，与圆
分别交于
，
两点，点
在线段
上，且
，求圆
半径
的取值范围.

20.（本小题满分13分）

设
为平面直角坐标系上的两点，其中
.令
，
，若

,且
，则称点
为点
的“相关点”，记作：
. 已知

为平面上一个定点，平面上点列
满足：
，且点
的坐标为
，其中
.

（Ⅰ）请问：点
的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；

（Ⅱ）求证：若
与
重合，
一定为偶数；

（Ⅲ）若
，且
，记
，求
的最大值.

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （理）

参考答案及评分标准2013．4

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

C

C

D

A

D

B

B



9．0

 10．14

 11.



12．

 13．

 14．



二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，

共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15．（本小题满分13分）

解：（I）因为

………………2分

………………4分

………………6分所以
………………7分

所以
的周期为
………………9分

（II）当
时，
，

所以当
时，函数取得最小值
………………11分

当
时，函数取得最大值
………………13分

16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有
人………………1分

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
………………3分

(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

………………7分

（Ⅲ）设两人成绩之和为
，则
的值可以为16，17，18，19，20………………8分

，

，

所以
的分布列为

16

17

18

19

20

















………………11分

所以

所以
的数学期望为
………………13分

17.证明：(I) 因为
是正三角形，
是
中点，

所以
,即
………………1分

又因为
，
平面
，
………………2分

又
，所以
平面
………………3分

又
平面
，所以
………………4分（Ⅱ）在正三角形
中，
………………5分

在
中，因为
为
中点，
，所以

，所以
，所以
………………6分

在等腰直角三角形
中，
，
，

所以
，
，所以
………………8分

又
平面
，
平面
，所以
平面
………………9分

（Ⅲ）因为
，

所以
，分别以
为
轴,
轴,
轴建立如图的空间直角坐标系，

所以

由（Ⅱ）可知，

为平面
的法向量………………10分

，

设平面
的一个法向量为
,

则
，即
，

令
则平面
的一个法向量为
………………12分

设二面角
的大小为
， 则

所以二面角
余弦值为
………………14分

18. 解：（I）因为
所以
………………2分

因为函数
在
处取得极值

………………3分

当
时，
，
，

随
的变化情况如下表：

















0



0









 极大值



 极小值





………………5分

所以
的单调递增区间为
,

单调递减区间为
………………6分

(II)因为

令
,
………………7分

因为
在
处取得极值，所以

当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减

所以
在区间
上的最大值为
，令
，解得
………………9分

当
，

当
时，
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增

所以最大值1可能在
或
处取得

而

所以
，解得
………………11分

当
时,
在区间
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增

所以最大值1可能在
或
处取得

而

所以
，

解得
，与
矛盾………………12分

当
时，
在区间
上单调递增，在
单调递减，

所以最大值1可能在
处取得，而
，矛盾

综上所述，
或
. ………………13分

1９.（本小题满分14分）

解：（I）设椭圆的焦距为
，

因为
，
，所以
，所以
.

所以椭圆
：
………………4分

（II）设
（
，
），
(
，
)

由直线
与椭圆
交于两点
，
，则

所以
，则
，
………………6分

所以
………………7分

点
（
，0）到直线
的距离

则
………………9分

显然，若点
也在线段
上，则由对称性可知，直线
就是
轴，矛盾，

所以要使
，只要

所以

………………11分

当
时，
………………12分

当
时，

又显然
, 所以

综上，
………………14分

20.解：（Ⅰ）因为

为非零整数）

故
或
，所以点
的相关点有8个………………2分

又因为
，即

所以这些可能值对应的点在以
为圆心，
为半径的圆上………………4分

（Ⅱ）依题意
与
重合

则
，

即
，

两式相加得

（*）

因为

故
为奇数，

于是（*）的左边就是
个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，

所以
一定为偶数………………8分

（Ⅲ）令

，

依题意
，

因为

………………10分

因为有
，且
为非零整数，

所以当
的个数越多，则
的值越大，

而且在
这个序列中，数字
的位置越靠前，则相应的
的值越大

而当
取值为1或
的次数最多时，
取2的次数才能最多，
的值才能最大.

当
时，令所有的
都为1，
都取2，

则
.

当
时，

若
，

此时，
可取
个1，
个
，此时
可都取2，
达到最大

此时
=
.

若
,令
,其余的
中有
个
，
个1.

相应的，对于
，有
,其余的都为2，

则

当
时，令

则相应的取

则
=
+

综上，
………………13分