海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （文科） 2013.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 集合
，则

A.
B.
C.
D.

2.等差数列
中,
则
的值为

A.
B.
C. 21 D.27

3. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的
值为5，则输出的
值为

Ａ.
B.
C.
D.

4. 已知
，下列函数中，在区间
上一定是减函数的是

Ａ.
B.

C.
D.

5. 不等式组
表示面积为1的直角三角形区域，则
的值为

A.
B. 1 C. 2 D.3

6. 命题



；

命题

双曲线
的离心率为
.

则下面结论正确的是

A.
是假命题 B.
是真命题C.

是假命题 D.

是真命题

7.已知曲线
在点
处的切线经过点
，则
的值为

Ａ.
B.
C.
D.

8. 抛物线
的焦点为
，点
为抛物线上的动点，点
为其准线上的动点，当
为等边三角形时，其面积为

A.
B. 4 C. 6 D.

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 在复平面上，若复数
（
）对应的点恰好在实轴上，则
=_______.

10.若向量
满足
，则
的值为______.

11.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为______.

12.在
中，若

，则

13.已知函数
有三个不同的零点，则实数
的取

值范围是_____.

14.已知函数
，任取
，定义集合:

，点
，
满足
. 设
分别表示集合

中元素的最大值和最小值，记
.则

(1) 若函数
，则
=______;

（2）若函数
，则
的最小正周期为______.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的值和
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间
上的最大值和最小值.

16. （本小题满分13分）

在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.

（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.

17. （本小题满分14分）

在四棱锥
中，
平面
，
是正三角形，
与
的交点
恰好是
中点，又
，
，点
在线段
上，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）设平面

平面
=
，试问直线
是否与直线
平行，请说明理由.

18. （本小题满分13分）

函数
,其中实数
为常数.

(I) 当
时，求函数的单调区间；

(II) 若曲线
与直线
只有一个交点，求实数
的取值范围.

19. （本小题满分14分）

已知圆
：
,若椭圆
：
（
）的右顶点为圆
的圆心，离心率为
.

（I）求椭圆
的方程；

（II）已知直线
：
，若直线
与椭圆
分别交于
，
两点，与圆
分别交于
，
两点（其中点
在线段
上），且
，求
的值.

20. （本小题满分13分）

设
为平面直角坐标系上的两点，其中
.令
，
，若

,且
，则称点
为点
的“相关点”，记作：
.

（Ⅰ）请问：点
的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；

（Ⅱ）已知点
，若点
满足
，求点
的坐标；

（Ⅲ）已知

为一个定点，点列
满足：
其中
，求
的最小值.

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （文）

参考答案及评分标准2013．4

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

A

B

B

D

B

D



9． 0

 10．

 11.



12．

 13．

 14．



二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，

共30分）

三、

解答题(本大题共6小题,共80分)

15．（本小题满分13分）

解：（I）
………………2分

因为

………………4分

………………6分

………………8分所以
的周期为
………………9分

（II）当
时，
，

所以当
时，函数取得最小值
………………11分当
时，函数取得最大值
………………13分

16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有
人………………2分

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
………………4分

（II）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

………………8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，

所以还有2人只有一个科目得分为A………………9分

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}
,一共有6个基本事件 ………………11分

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则
. ………………13分

17.解：（I）证明：(I) 因为
是正三角形，
是
中点，

所以
,即
………………1分

又因为
，
平面
，
………………2分

又
，所以
平面
………………4分

又
平面
，所以
………………5分

（Ⅱ）在正三角形
中，
………………6分

在
，因为
为
中点，
，所以

，所以，
，所以
………………8分

所以
，所以
………………9分

又
平面
，
平面
，所 以
平面
………………11分

（Ⅲ）假设直线
，因为
平面
，
平面
，

所以
平面
………………12分

又
平面
，平面

平面
，所以
……………13分

这与
与
不平行，矛盾

所以直线
与直线
不平行………………14分

18.解：（I）因为
………………2分

当
时，
，令
，所以

随
的变化情况如下表：

















0



0









极大值



极小值





………………4分

所以
的单调递增区间是
，

单调递减区间是
………………6分

（II）令
，所以
只有一个零点………………7分

因为

当
时，
，所以
只有一个零点0 ………………8分

当
时，
对
成立，

所以
单调递增，所以
只有一个零点………………9分

当
时，令
，解得
或
……………10分

所以
随
的变化情况如下表：

















0



0









极大值



极小值






有且仅有一个零点等价于
………………11分

即
，解得
………………12分 综上所述，
的取值范围是
………………13分

19.解：(I)设椭圆的焦距为
，

因为
，
，所以
………………2分

所以

所以椭圆
：
………………4分

（II）设
（
，
），
(
，
)

由直线
与椭圆
交于两点
，
，则

所以
, 则
，
………………6分

所以
………………8分

点
(
）到直线
的距离
………………10分

则
………………11分

显然，若点
也在线段
上，则由对称性可知，直线
就是
轴，矛盾，

因为
，所以
………………12分

所以

解得
,即
………………14分

20.解: (I)因为

为非零整数）

故
或
，所以点
的“相关点”有8个………………1分又因为
，即

所以这些可能值对应的点在以
为圆心，
为半径的圆上………………3分

(II)设
，因为

所以有
，
………………5分

所以
，所以

或

所以
或
………………7分

(III)当
时，
的最小值为0………………8分

当
时，可知
的最小值为
………………9分

当
时，对于点
，按照下面的方法选择“相关点”，可得
：

故
的最小值为
………………11分

当
时，对于点
，经过
次变换回到初始点
，然后经过3次变换回到
，故
的最小值为

综上，当
时，
的最小值为

当
时，
的最小值为0

当
时，
的最小值为1 ………………13分