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2013届高三上学期期末考试 数 学 (满分160分，考试时间120分钟) 2013．01 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，6}，则A∩B＝__________． 2. 已知i为虚数单位，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝________． 3. 某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________． 4. 正项等比数列{an}中，a3a11＝16，则log2a2＋log2a12＝________． 5. 在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是________． 6. 右图是一个算法流程图，若输入x的值为－4，则输出y的值为__________． (第6题图) 7. 已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别为BC、DC的中点，沿AE、EF、AF折成一个四面体，使B、C、D三点重合，则这个四面体的体积为__________． 8. 如果函数y＝3sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点中心对称，则φ＝____________． 9. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝4x的准线交于A、B两点，AB＝，则C的实轴长为__________． 10. 已知函数f(x)＝则使f[f(x)]＝2成立的实数x的集合为__________． 11. 二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝______________． (第13题图) 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝4，C为圆心，点P为圆上任意一点，则·的最大值为____________． 13. 如图，点A、B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB＝2，若点A从(，0)移动到(，0)，则AB中点D经过的路程为____________． 14. 关于x的不等式x2－ax＋2a＜0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是____________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB＋bcosC＝3acosB. (1) 求cosB的值； (2) 若·＝2，求b的最小值． 16.(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，且AC1＝4AF.求证： (1) 平面ADF⊥平面BCC1B1； (2) EF∥平面ABB1A1. 17. (本小题满分14分) 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：① 报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；② 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③ 报销的医疗费用不得超过8万元． (1) 请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案； (2) 若该单位决定采用函数模型y＝x－2lnx＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3) 18. (本小题满分16分) 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且椭圆C过点P，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2. (1) 求椭圆C的方程； (2) 若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由． 19. (本小题满分16分) 已知函数f(x)＝x3－mx2－x＋m，其中m∈R. (1) 求函数y＝f(x)的单调区间； (2) 若对任意的x1、x2∈[－1，1]，都有|f′(x1)－f′(x2)|≤4，求实数m的取值范围； (3) 求函数f(x)的零点个数． 20. (本小题满分16分) 已知数列{an}中，a2＝a(a为非零常数)，其前n项和Sn满足：Sn＝(n∈N*)． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若a＝2，且a－Sn＝11，求m、n的值； (3) 是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{an}中满足an＋b≤p的最大项恰为第3p－2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由.
2013届高三调研测试试卷(三) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟) 21. 【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修41：几何证明选讲(本小题满分10分) 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E.求证：AD的延长线平分∠CDE. B. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分) 已知矩阵M＝，点A(1，0)在矩阵M对应变换作用下变为A′(1，2)，求矩阵M的逆矩阵M－1. C. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分) 已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．若l与C相交于A、B两点，且AB＝.求实数m的值． D. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分) 已知不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围． 【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1、1、1、2、2、3，现从袋中一次随机抽取3个球． (1) 若有放回地抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率； (2) 记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望． 23.在三棱锥SABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角． (1) 若D为侧棱SB上一点，当为何值时，CD⊥AB； (2) 求二面角SBCA的余弦值大小．
2013届高三调研测试试卷(三)(连云港) 数学参考答案及评分标准 1. {2} 2. 1＋i 3. 19 4. 4 5. 6. 2 7. 8. 9. 1 10. {x|0≤x≤1，或x＝2} 11. 2πr4 12. 4＋2 13. 14. ∪ 15. 解：(1) 因为ccosB＋bcosC＝3acosB， 由正弦定理，得sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosB， 即sin(B＋C)＝3sinAcosB.(5分) 又sin(B＋C)＝sinA≠0，所以cosB＝.(7分) (2) 由·＝2，得accosB＝2，所以ac＝6.(9分) 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－ac＝8，当且仅当a＝c时取等号， 故b的最小值为2.(14分) 16. 证明：(1) 因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以CC1⊥平面ABC. 而AD平面ABC，所以CC1⊥AD.(2分) 又AB＝AC，D为BC中点，所以AD⊥BC. 因为BC∩CC1＝C，BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1.(5分) 因为AD平面ADF， 所以平面ADF⊥平面BCC1B1.(7分) (2) 连结CF延长交AA1于点G，连结GB. 因为AC1＝4AF，AA1∥CC1，所以CF＝3FG. 因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE＝3EB， 所以EF∥GB.(11分) 而EF平面ABB1A1，GB平面ABB1A1， 所以EF∥平面ABB1A1.(14分) 17. 解：(1) 函数y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分) 当x＝10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分) 但当x＝3时，y＝<，即y≥不恒成立，不满足条件②， 故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分) (2) 对于函数模型y＝x－2lnx＋a，设f(x)＝x－2lnx＋a，则f′(x)＝1－＝≥0. 所以f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①， 由条件②，得x－2lnx＋a≥，即a≥2lnx－在x∈[2，10]上恒成立， 令g(x)＝2lnx－，则g′(x)＝－＝，由g′(x)>0得x<4， ∴ g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数． ∴ a≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分) 由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.(12分) 另一方面，由x－2lnx＋a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立， ∴ a≤2ln2， 综上所述，a的取值范围为[4ln2－2，2ln2]， 所以满足条件的整数a的值为1.(14分) 18. 解：(1) 因为椭圆过点P，所以＋＝1，解得a2＝2.(2分) 又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，所以AF2⊥F2P，即－·＝－1，b2＝c(4－3c)．(6分) 而b2＝a2－c2＝2－c2，所以c2－2c＋1＝0，解得c＝1， 故椭圆C的方程是＋y2＝1.(8分) (2) ① 当直线l斜率存在时，设直线l方程为y＝kx＋p，代入椭圆方程得 (1＋2k2)x2＋4kpx＋2p2－2＝0. 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以 Δ＝16k2p2－4(1＋2k2)(2p2－2)＝8(1＋2k2－p2)＝0， 即1＋2k2＝p2.(10分) 设在x轴上存在两点(s，0)，(t，0)，使其到直线l的距离之积为1，则 ·＝＝1， 即(st＋1)k＋p(s＋t)＝0(*)，或(st＋3)k2＋(s＋t)kp＋2＝0 (**)． 由(*)恒成立，得解得或(14分) 而(**)不恒成立． ② 当直线l斜率不存在时，直线方程为x＝±时， 定点(－1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1·d2＝(－1)(＋1)＝1. 综上，存在两个定点(1，0)，(－1，0)，使其到直线l的距离之积为定值1.(16分) 19. 解：(1) f′(x)＝x2－2mx－1， 由f′(x)≥0，得x≤m－，或x≥m＋. 故函数f(x)的单调增区间为(－∞，m－)，(m＋，＋∞)， 减区间为(m－， m＋)．(4分) (2) “对任意的x1，x2∈[－1，1]，都有|f′(x1)－f′(x2)|≤4”等价于“函数y＝f′(x)，x∈[－1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”． 对于f′(x)＝x2－2mx－1，对称轴为x＝m. ①当m<－1时，f′(x)的最大值为f′(1)，最小值为f′(－1)，由f′(1)－f′(－1)≤4，即－4m≤4，解得m≥－1，舍去；(6分) ② 当－1≤m≤1时，f′(x)的最大值为f′(1)或f′(－1)，最小值为f′(m)，由即解得－1≤m≤1；(8分) ③ 当m>1时，f′(x)的最大值为f′(－1)，最小值为f′(1)，由f′(－1)－f′(1)≤4，即4m≤4，解得m≤1，舍去． 综上，实数m的取值范围是[－1，1]．(10分) (3) 由f′(x)＝0，得x2－2mx－1＝0， 因为Δ＝4m2＋4>0，所以y＝f(x)既有极大值也有极小值． 设f′(x0)＝0，即x－2mx0－1＝0， 则f(x0)＝x－mx－x0＋m＝－mx－x0＋m＝－x0(m2＋1)，(12分) 所以极大值f(m－)＝－(m－)(m2＋1)>0， 极小值f(m＋)＝－(m＋)(m2＋1)<0， 故函数f(x)有三个零点．(16分) 20. 解：(1) 由已知，得a1＝S1＝＝0，∴ Sn＝，(2分) 则有Sn＋1＝， ∴ 2(Sn＋1－Sn)＝(n＋1)an＋1－nan，即(n－1)an＋1＝nan(n∈N*)， ∴ nan＋2＝(n＋1)an＋1， 两式相减，得2an＋1＝an＋2＋an(n∈N*)，(4分) 即an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)， 故数列{an}是等差数列． 又a1＝0，a2＝a，∴ an＝(n－1)a.(6分) (2) 若a＝2，则an＝2(n－1)，∴ Sn＝n(n－1)． 由a－Sn＝11，得n2－n＋11＝(m－1)2，即4(m－1)2－(2n－1)2＝43， ∴ (2m＋2n－3)(2m－2n－1)＝43.(8分) ∵ 43是质数，2m＋2n－3>2m－2n－1，2m＋2n－3>0， ∴ 解得m＝12，n＝11.(10分) (3) 由an＋b≤p，得a(n－1)＋b≤p. 若a<0，则n≥＋1，不合题意，舍去；(11分) 若a>0，则n≤＋1. ∵ 不等式an＋b≤p成立的最大正整数解为3p－2， ∴ 3p－2≤＋1<3p－1，(13分) 即2a－b<(3a－1)p≤3a－b，对任意正整数p都成立． ∴ 3a－1＝0，解得a＝，(15分) 此时，－b<0≤1－b，解得 故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a＝， 高三数学附加题试卷(三)参考答案 第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加) 2013届高三调研测试试卷(三)(连云港) 数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 证明：设F为AD延长线上一点． ∵ A、B、C、D四点共圆， ∴ ∠ABC＝∠CDF.(3分) 又AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB，(5分) 且∠ADB＝∠ACB，∴ ∠ADB＝∠CDF.(7分) 对顶角∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF， 即AD的延长线平分∠CDF.(10分) B. 解：∵ ＝，∴ a＝1，b＝2.(5分) ∴ M＝. ∴ M－1＝.(10分) C. 解：曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0， 即(x－2)2＋y2＝4.(3分) 直线l的普通方程方程为y＝x－m，(5分) 则圆心到直线l的距离d＝＝，(7分) 所以＝，即|m－2|＝1，解得m＝1，或m＝3.(10分) D. 解：∵ (x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，当且仅当＝＝时取等号，(5分) ∴ |a－1|≥3，解得a≥4，或a≤－2.(10分) 22. 解：(1) 一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率P＝＝. 所以，3次抽取中，恰有2次抽到3号球的概率为 CP2(1－P)＝3×＝.(4分) (2) 随机变量X所有可能的取值为1，2，3. P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝ | ||||||||||||||||||||||||||||||
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