山东省济南一中2013届高三二轮复习质量检测

数学试题（理工类）

2013.4

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知U＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则CU(A∪B)等于

A．{6,8} B．{5,7} C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}

2．已知为虚数单位，复数z=
，则复数的虚部是

A．
B．
C．
D．

3．函数y=
与y=
图形的交点为（a，b），则a所在区间是

A．（0，1） B．（1，2 ） C．（2，3 ） D．（3，4）

4. 已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0， b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为

A．4＋2 B.－1

C.  D.＋1

5. 阅读右边的程序框图，若输出S的值为－14，

则判断框内可填写

A．i<6? B．i<8?

C．i<5? D.i<7?

6. 函数f(x)=

A．在
上递增，在
上递减

B．在
上递增，在
上递减

C．在
上递增，在
上递减

D．在
上递增，在
上递减

7. 若某空间几何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积是

A．  B． C. 1 D. 2

8. 已知点是边长为1的等边
的中心，

则
等于

A．
B．

C．
D．

9． 从6名同学中选4人分别到A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D城市游览，则不同的选择方案共有

A．96种 B．144种 C．240种 D．300种

10．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是

A．95 B．91 C．88 D．75

11. 已知抛物线
上存在关于直线
对称的相异两点、，则
　等于

A．3 B.4 C.
D.

12. 设函数f(x)=x-
,对任意
恒成立，则实数m的取值范围是

A．(-1 , 1) B.
C.
D.
或（

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是

________________.

14. 已知向量

则
的值为 .

15. 在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为
，则事件A恰好发生一次的概率为 。

16．底面半径为1，高为的圆锥，其内接圆柱的底面半径为R，内接圆柱的体积最大时R值为 。

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

已知函数
在点
处取得极值。

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若关于x的方程
在区间[0，2]上有两个不等实根，求b的取值范围；

18．(本小题满分12分)

某班同学利用国庆节进行社会实践，对
岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；

（Ⅱ）从
岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取
人参加户外低碳体验活动，其中选取
人作为领队，记选取的
名领队中年龄在
岁的人数为，求的分布列和期望
。

19．（本题满分12分)

如图，已知四棱锥P－ABCD，侧面PAD为边长

等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BDA＝60°.

（Ⅰ）证明：∠PBC＝90°；

（Ⅱ）若PB＝3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

设椭圆
的离心率
，右焦点到直线
的距离

为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
作两条互相垂直的射线，与椭圆
分别交于
两点，证明点
到直线
的距离为定值. 并求出定值

21．（本小题12分）

已知函数
(x) 定义在
上，
，满足
，且数列
．

（Ⅰ）证明：
(x)在（-1，1）上为奇函数；

（Ⅱ）求
的表达式；

（Ⅲ）若
，（
）.试求
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．

如图，
的角平分线
的延长线交它的外接圆于点

（Ⅰ）证明：
∽

（Ⅱ）若
的面积
，求
的大小。

23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．

已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程
.

（Ⅰ）写出直线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线
经过伸缩变换
得到曲线
，设曲线
上任一点为
，

求
的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知
，设关于x的不等式
+

的解集为A.

（Ⅰ）若=1,求A；

（Ⅱ）若A=R, 求的取值范围。

数学（理工类）参考答案及评分标准

∴ 所求实数
的取值范围是
…………………12分

18．解析：（Ⅰ）第二组的频率为
，所以高为
．频率直方图如下：

-------------------------------2分

第一组的人数为
，频率为
，所以
．

第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为
，所以
．

第四组的频率为
,第四组的人数为
，

所以
． -------------------------------6分

（Ⅱ）因为
岁年龄段的“低碳族”与
岁年龄段的“低碳族”的比值为
，所以采用分层抽样法抽取18人，
岁中有12人，
岁中有6人．随机变量服从超几何分布．

，
，

，
． 分

所以随机变量的分布列为

0

1

2

3















∴数学期望
．--------------------12分

19．(1)取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，

∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB?平面POB，

∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°. …………………………5分

(2)如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，由PO＝BO＝，PB＝3，得∠POB＝120°，∴∠POz＝30°，∴P(0，－， )，则＝(－1，，0)，＝(－1,0,0)，＝(0，，－)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，

则，取z＝，则n＝(0,1，)，

设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则

sinθ＝|cos〈，n〉|＝. …………………………12分

20、解：（I）由

∴
，又
，∴
为等比数列,其通项公式为

．…………..6分

(3)解：∵
+
=6n, ∴
+
=6(n+1),两式相减，得
-
=6，

∴
与
均为公差为6 的等差数列，

∴易求得
=
。………….12分

22. 解：证明：（Ⅰ）由已知条件，可得

因为
是同弧上的圆周角，所以
，

故
∽
…….5分

（Ⅱ）因为
∽
，所以
，即

c