2013届高三调研测试试卷(七)

数　　学

(满分160分，考试时间120分钟)

2013．01

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 设集合A＝{1，}，B＝{a}，若B
A，则实数a的值为__________．

2. 已知复数z＝－1＋i(i为虚数单位)，计算：＝__________．

3. 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(1，2)，则该双曲线的离心率为__________．

　

(第4题)

4. 根据右图所示的算法，输出的结果为________．

5. 已知某拍卖行组织拍卖的6幅名画中，有2幅是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了两幅画，则此人买入的两幅画中恰有一幅画是赝品的概率为________．

6. 函数f(x)＝cos
cos
的最小正周期为__________．

7. 函数f(x)＝log2(4－x2)的值域为__________．

8. 已知点A(1，1)和点B(－1，－3)在曲线C：y＝ax3＋bx2＋d(a，b，d为常数)上，若曲线C在点A、B处的切线互相平行，则a3＋b2＋d＝____________．

9. 已知向量a、b满足a＋2b＝(2，－4)，3a－b＝(－8，16)，则向量a、b的夹角的大小为________．

10. 给出下列命题：

① 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

② 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

③ 若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；

④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，真命题是__________．(填序号)

11. 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______________．

12. 已知数列{an}满足a1＝，2－an＋1＝(n∈N*)，则＝____________．

13. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M、N两点，点P为圆C上任意一点，则·的最大值为____________．

14. 已知实数x、y同时满足4－x＋27－y＝，log27y－log4x≥，27y－4x≤1，则x＋y的取值范围为____________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

已知α、β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.

(1) 求sin(α－β)的值；

(2) 求cosβ的值．

(本小题满分14分)

如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA、PB的中点．求证：

(1) MN∥平面PCD；

(2) 四边形MNCD是直角梯形；

(3) DN⊥平面PCB.

17. (本小题满分14分)

第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状为矩形ABCD，已知BC＝a，CD＝b，a、b为常数且满足b＜a.组委会决定，从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区(点E、F分别在线段AB、AD上)，△AEF的周长为l(l＞2b)，如图．设AE＝x，△AEF的面积为S.

(1) 求S关于x的函数关系式；

(2) 试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．

18. (本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，且＋5＝0.

(1) 求椭圆E的离心率；

(2) 已知点D(1，0)为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B)，连结MF1并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

19. (本小题满分16分)

已知数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝15，数列{bn}是等比数列，b1b2b3＝27.

(1) 若a1＝b2，a4＝b3，求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2) 若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数且成等比数列，求a3的最大值．

20. (本小题满分16分)

已知a为实数，函数f(x)＝x|x－a|－lnx.

(1) 若a＝1，求函数f(x)在区间[1，e](e为自然对数的底数)的最大值；

(2) 求函数f(x)的单调区间；

(3) 若f(x)＞0恒成立，求a的取值范围.

2013届高三调研测试试卷(七)

数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修4–1：几何证明选讲(本小题满分10分)

如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DB·DA.

B. 选修4–2：矩阵与变换(本小题满分10分)

已知矩阵A＝(c、d为实数)，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝.求矩阵A的逆矩阵．

C. 选修4–4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)

已知曲线C1的极坐标方程为ρcos
＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos
，判断曲线C1与C2的位置关系．

D. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)

已知x、y、z均为正实数，且x＋y＋z＝1.求证：＋＋≥.

【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 已知一个口袋中装有黑球和白球共9个(这些球除颜色外完全相同)，从中任取2个球都是白球的概率为.现甲、乙两人从该口袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取出1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．

(1) 求袋中原有白球的个数；

(2) 求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．

空间内有n(n∈N*)个不重合的平面，设这n个平面最多将空间分成an(n∈N*)个部分．

(1) 求a1，a2，a3，a4；

(2) 写出an关于n(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明．

2013届高三调研测试试卷(七)(常州)

数学参考答案及评分标准

1. 0　2. －i　3. 　4. 11　5. 　6. 2　7. (－∞，2]　8. 7　9. π　10. ①③④

11. 　12. 　13. 4＋4　14. 

15. 解：(1) ∵ α，β∈
，∴ －
＜α－β＜
.

又tan(α－β)＝－＜0，∴ －
＜α－β＜0.(4分)

∴ sin(α－β)＝－.(6分)

(2) 由(1)可得，cos(α－β)＝.(8分)

∵ α为锐角，sinα＝，∴ cosα＝.(10分)

∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)(12分)

＝×＋×＝.(14分)

16. 证明：(1) 因为点M、N分别是PA、PB的中点，所以MN∥AB.

因为CD∥AB，所以MN∥CD.(2分)

又CD平面PCD，MN平面PCD，所以MN∥平面PCD.(4分)

(2) 因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.

因为PD⊥底面ABCD，CD
平面ABCD，所以CD⊥PD.

因为AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.(6分)

因为MD平面PAD，所以CD⊥MD.

又MN∥CD，MN≠CD，

所以四边形MNCD是直角梯形．(8分)

(3) 因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，

从而∠PAD＝60°.(9分)

在Rt△PDA中，AD＝，PD＝，PA＝2，MD＝.

在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝，CD＝3，CN＝＝，

从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.(11分)

在Rt△PDB中，PD＝DB＝，N是PB的中点，则DN⊥PB.(13分)

又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.(14分)

17. 解：(1) 当l＞a＋b＋时，不能构成满足条件的三角形；当l≤a＋b＋时，

设AF＝y，则x＋y＋＝l，整理，得y＝.(2分)

S＝xy＝，x∈(0，b]．(4分)

(2) S′＝·，x∈(0，b]．(6分)

令S′＝0，得2x2－4lx＋l2＝0，x＝l.(8分)

因为0＜x＜b＜，所以

当2b＜l＜(2＋)b时，b＞l，S在上单调递增，在上单调递减；所以当x＝l时，S的极大值也是最大值，Smax＝l2；(10分)

当l≥(2＋)b时，b≤l，S在(0，b]上单调递增，当x＝b时，Smax＝；(12分)

故当△AEF的周长l满足2b＜l＜(2＋)b时，取AE＝l，直角三角形地块AEF的面积S最大，Smax＝l2；当△AEF的周长l满足(2＋)b≤l≤a＋b＋时，取AE＝b，直角三角形地块AEF的面积S最大，Smax＝.(14分)

18. 解：(1) ∵ ＋5＝0，∴ ＝5.∴ a＋c＝5(a－c)，

化简，2a＝3c，故椭圆的离心率e＝＝.(3分)

(2) 存在满足条件的常数λ，λ＝－.

∵ 点D(1，0)为OF2的中点，∴ c＝2，从而a＝3，b＝，左焦点F1(－2，0)，

椭圆E的方程为＋＝1.(5分)

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

则直线MD的方程为x＝y＋1，

代入椭圆方程＋＝1，整理，得y2＋y－4＝0.(7分)

∵ y1＋y3＝，∴ y3＝.

从而x3＝，故点P.(9分)

同理，点Q.(10分)

∵ 三点M、F1、N共线，∴ ＝，从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．(12分)

从而k2＝＝＝

＝×＝k1.(15分)

故k1－k2＝0.从而存在满足条件的常数λ，λ＝－.(16分)

19. 解：∵ {an}是等差数列，∴ a1＋a3＝2a2.

∵ a1＋a2＋a3＝15，∴ a2＝5.(2分)

∵ {bn}是等比数列，∴ b1b3＝b.

∵ b1b2b3＝27，∴ b2＝3.(4分)

(1) 由题设，a1＝b2＝3，从而等差数列{an}的公差等于2，

故等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.(6分)

进而a4＝9，b3＝a4＝9，等比数列{bn}的公比等于3，

故等比数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1.(8分)

(2) 设等差数列{an}的公差为d，等差数列{an}的公比为q，则a1＝5－d，b1＝，a3＝5＋d，b3＝3q.

∵ a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，

∴ (a1＋b1)·(a3＋b3)＝(a2＋b2)2＝64.

设a1＋b1＝m，a3＋b3＝n，m、n∈N*，则mn＝64，



整理，得d2＋(m－n)d＋5(m＋n)－80＝0.(10分)

∵ a3＝5＋d，∴ 欲使得a3最大，必须且只须d最大，∴ 上面方程必有解，从而d＝(舍去较小者)，

∴ d＝.(12分)

欲使得d最大，必须且只须n－m及(m＋n－10)2取最大值，

∵ m、n∈N*，mn＝64，

∴ 当且仅当n＝64且m＝1时，n－m及(m＋n－10)2取最大值．(14分)

2013届高三调研测试试卷(七)(常州)

数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 选修4–1：几何证明选讲

证明：连结OF.

因为OC＝OF，所以∠OCF＝∠OFC.

因为DF切⊙O于F，所以∠OFD＝90°.

所以∠OFC＋∠CFD＝90°.(4分)

因为CO⊥AB于O，所以∠OCF＋∠CEO＝90°.

所以∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，所以DF＝DE.(8分)

因为DF是⊙O的切线，所以DF2＝DB·DA.

所以DE2＝DB·DA.(10分)

B. 选修4–2：矩阵与变换

解：因为矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，所以＝6，

化简，得c＋d＝6.(4分)

因为矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，所以＝，化简，即3c－2d＝－2.(8分)

解得即A＝，故A的逆矩阵是.(10分)

C. 选修4–4：坐标系与参数方程

解：将曲线C1、C2化为直角坐标方程，得

C1：x＋y＋2＝0，C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，(4分)

∵ 圆心C2到直线C1的距离d＝＝＞，(8分)

∴ 曲线C1与C2相离．(10分)

D. 选修4–5：不等式选讲

证明：x、y、z均为正实数，由柯西不等式，得

[(y＋z)＋(x＋z)＋(x＋y)]≥(x＋y＋z)2，(6分)

∵ x＋y＋z＝1，∴ ＋＋≥.(10分)

22. 解：(1) 设口袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，

由题意知＝，化简得n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)，

故口袋中原有白球的个数为6.(4分)

(2) 由题意，X的可能取值为1，2，3，4.

P(X＝1)＝＝；

P(X＝2)＝＝；

P(X＝3)＝＝；

P(X＝4)＝＝.(8分)

所以取球次数X的概率分布列为

X

1

2

3

4



P











所求数学期望为E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.(10分)

23. 解：(1) a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝15.(2分)

(2) an＝(n3＋5n＋6)．(4分)

证明如下：

当n＝1时显然成立；

设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即ak＝(k3＋5k＋6)．(5分)

则当n＝k＋1时，再添上第k＋1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得k条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k条交线可以把第k＋1个平面最多划分成[(k＋1)2－(k＋1)＋2]个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了[(k＋1)2－(