山东省枣庄市

2013届高三3月模拟考试

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

3．考试结束后，监考人员将答题卡和第Ⅱ卷的答题纸一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i是虚数单位，复数
i是纯虚数，则实数x的值为

A．—1 B．1 C．±1 D．2

2．已知全集
为

A．{4} B．
C．{0，2，4} D．{1，3}

3．“
”是“数列
为等差数列”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

4．若
，则a+b=

A．36 B．46 C．34 D．44

5．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是

A．3 B．4 C．5 D．6

6．设
，其中实数x，y满足
若z的最大值为6，则z的最小值为

A．—3 B．—2 C．—1 D．0

7．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是

A．
B．
C．
D．

8．一个几何体的三视图如图所示，其中的长度单位为cm，则该几何体的体积为（ ）cm3。

A．18 B．48

C．45 D．54

9．若
既是周期函数，又是奇函数，则其导函数

A．既是周期函数，又是奇函数 B．既是周期函数，又是偶函数

C．不是周期函数，但是奇函数 D．不是周期函数，但是偶函数

10．已知函数
的定义域为
，值域为[1，5]，则在平面直角坐标系内，点（a,b）的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是

A．8 B．6 C．4 D．2

11．设F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使
，O为坐标原点，且
，则该双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

12．设函数
的零点都在区间[0，5]上，则函数
与函数
的图象的交点的横坐标为正整数时实数a的取值个数为

A．3 B．4 C．5 D．无穷个

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：第II卷所有题目的答案须用0．5mm黑色签字笔答在“答题纸”指定的位置上．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8．若用分层抽样抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为____．

14．函数
的最小值为 ．

15．如图，将边长为1cm的正方形ABCD的四边沿BC所在直线l向右滚动（无滑动），当正方形滚动一周时，正方形的顶点A所经过的路线的长度为 cm．

16．设
是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数
的图象．最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 。

三、解答题：本大题共6小题．共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
sin2A=1-cos2A。

（1）求角A的值；

（2）若
，求b的值。

18．（本小题满分12分）

在某社区举办的《2013年迎新春知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关过年知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是
，甲、丙二人都回答错的概率是
，乙、丙二人都回答对的概率是

（1）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；

（2）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X，求X的分布列和数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图所示的几何体中，ABCD是等腰梯形，AB//CD，ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CB=CF=a，∠ACB=
。

（1）若
//平面BDF，求EM的长度；

（2）求二面角B—EF—C的平面角
的大小。

20．（本小题满分12分）

已知数列
中，
的前n项和
满足
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若存在
，使得
，求实数
的最大值。

21．（本小题满分12分）

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元（a为常数，2≤a≤5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为
（e为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．

（1）求分公司经营该产品一年的利润L（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

22．（本小题满分14分）

已知椭圆C：
，⊙
，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是 ⊙O上的动点。

（1）若
，PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；

（2）是否存在这样的椭圆C，使得
恒为常数？如果存在，求出这个数及C的离心率e；如果不存在，说明理由。