2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)

数 学(理工类)

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 (选择题 共40分)

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)若(2+i)(b+i)是实数(i是虚数单位，b是实数)，则b=

(A)-1 (B)1

(C)-2 (D)2

(2)已知
为等差数列{
}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为

(A)38 (B)45

(C)47 (D)54

(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的c值为

(A)55 (B)56

(C)66 (D)89

(4)下列关于函数
与函数
的描述，正确的是

(A)
，当x>X时，总有f(x)

(B)
f(x)

(C)
f(x)≠g(x)

(D)方程f(x)=g(x)在(0，+∞)内有且只有一个实数解

(5)已知
，则 a7的值为

(A)-2 (B)28

(C)43 (D)52

(6)已知直线l为抛物线
(p>0)的准线，F为其焦点，直线AB经过F且与抛物线交于A，B两点。过点A，B做直线l的垂线，垂足分别为C，D，线段CD的中点为M，O为坐标原点，则下列命题中错误的是

(A)
(B)

(C)存在实数
使得
(D)三角形AMB为等腰三角形

(7)已知
，
若A
B，则实数a的取值范围是

(A)(0，
) (B)[
，+∞)

(C)[2，+∞) (D) [
，+∞)

(8)如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l2，l2，l3上，则△ABC的边长是

(A)3 (B)6

(C)3
(D)

2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)

数学(理工类)

第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)

注意事项：

1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．

3．本卷共12小题，共110分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．

(9)某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重(单位：kg)，所得数据都在区间[50,75]中，其频率分布直方图如图所示．若图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，则体重小于60kg的高三男生人数为 .

(10)一个几何体的三视图如右图所示(单位：cm)，则这个几何体的体积为 立方厘米．

(11)已知在极坐标系下，圆C的方程为
，直线l的方程为
，则直线l截圆C所得的弦长为 ．

(12)如图，A，B是两圆的交点．AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10．且BC=AD，则DE= .

(13)已知
,则f(x)>-1的解集为 .

(14)如图，在△ABC中，AD，BE分别为边BC，CA上的中线，且
与
的夹角为l20o，
,则
的值为 .

三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(15)(本小题满分l3分)

已知函数
．

(I)求
的值；

(Ⅱ)求f(x)的最大值及相应x的值．

(16)(本小题满分l 3分)

袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是
，从B中摸出一个红球的概率是
．现从两个袋子中有放回的摸球·

(I)从A中摸球，每次摸出一个，共摸5次．求：

(i)恰好有3次摸到红球的概率；

(ii)设摸得红球的次数为随机变量X，求X的期望；

(Ⅱ)从A中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A中摸球，若是红球则在袋子B中摸球，若从袋子B中摸出的是白球则继续在袋子B中摸球，若是红球则在袋子A中摸球,如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为Y，求Y的分布列以及随机变量Y的期望．

(17)(本小题满分l3分)

如图，四边形ABCD是矩形，AD=2，DC=l，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC，EC=1．点F在线段BE上，且DE//平面ACF

( I )求证：平面AEC⊥平面ABE；

(Ⅱ)求
的值；

(Ⅲ)求二面角A-FC-B的余弦值．

(18)(本小题满分l 3分)

已知数列{
}满足对一切
有
>0，且
，其中
．

( I )求证：对一切
有
；

(II)求数列{
}通项公式；

(Ⅲ)设数列{
}满足
，Tn为数列{
}的前n项和，求Tn的表达式．

(19)(本小题满分l4分)

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于
．

( I )求椭圆C的方程；

(II)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若
，求证
为定值．

(20)(本小题满分14分)

已知函数
(a，b，c为常数且a，b，c
Q)在x=e处的切线方程为
．

( I )求常数a，b，c的值；

(Ⅱ)若函数
在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m的取值范围；

(Ⅲ)求函数
的单调递减区间，并证明：