注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

　　　2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。

2013年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

数 　学（理科）

命题人：唐青波 审题人：李满禁、石水生、蒋良银、张理科

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1．若
（
、
是实数，
是虚数单位），则复数
对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.已知
，
，则
为

A．
B．
C．
D．

3. 下列命题中错误的是

A．命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”

B．对命题
：
，使得
，则
则

C．已知命题p和q，若
q为假命题，则命题p与q中必一真一假

D．若
、
，则“
”是“
”成立的充要条件

4. 执行右图的程序框图，若输出的
，

则输入整数
的最大值是

A．15 B．14

C．7 D．6

5. 过双曲线
的右焦点
作圆

的切线
(切点为
)，交
轴于点

．若
为线段
的中点，则双曲线的离心率为

A．2 B．

C．
D．

6. 首项为正数的递增等差数列
，其前
项和为
，则点
所在的抛物线可能为

7. 已知函数
, 则
的值为

A．
B.
C.
D.

8. 在二项式
的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为

A.
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡上的相应

横线上.

（一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）

9. 设曲线
的参数方程为
(
是参数，
)，直线
的极坐标方程为
，若曲线
与直线
只有一个公共点，则实数
的值是 ．

10．设函数
的定义域为
，

　 则实数
的取值范围是 ．

11.如图，⊙
上一点
在直径
上的射影为
，

且
，
，则⊙
的半径等于______.

（二）必作题（12~16题）

12．某几何体的三视图如右，其中正视图与侧视图上半部分为

半圆，则该几何体的表面积为 ．

13. 设随机变量
，

且
，则实数
的值为 　.

14．已知
为
内一点，且
，

现随机将一颗豆子撒在
内，则豆子落在

内的概率为 ．

15. 已知平面直角坐标系
上的区域
由不等式组
给定. 若
为
上的动

点，点
的坐标为
,则
的最大值为 .

16．下列命题:

①当
时，
；

②
是
成立的充分不必要条件；

③对于任意
的内角
、
、
满足：

；

④定义：如果对任意一个三角形，只要它的三边长
、
、
都在函数
的定义域内，就有
、
、
也是某个三角形的三边长，则称
为“三角形型函数”.函数
是“三角形型函数”.

其中正确命题的序号为 .（填上所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、
,且

（1）求A的大小；

（2）求
的最大值.

18．（本小题满分12分）

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费

额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，

假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在
区域返券60元；停在

区域返券30元；停在
区域不返券. 例如：消费218元，可转动转

盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为
（元），求随机变量
的分布列和数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图1，
，
，过动点A作
，垂足
在线段
上且异于点
，连接
，沿
将△
折起，使
（如图2所示）．

（1）当
的长为多少时，三棱锥
的体积最大；

（2）当三棱锥
的体积最大时，设点
，
分别为棱
、
的中点，试在棱
上确定一点
，使得

，并求
与平面
所成角的大小．

20．（本小题满分13分）．

已知数列
的前
项和为
，点
在直线
上.数列
满足
，且
，前9项和为153.

（1）求数列
、
{的通项公式；

（2）设
，数列
的前
和为
，求使不等式
对一切
都成立的最大正整数
的值；

（3）设
，问是否存在
，使得
成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分13分 ）

直角坐标平面上，
为原点，
为动点，
，
. 过点
作
轴于
，过
作
轴于点
，
. 记点
的轨迹为曲线
，

点
、
，过点
作直线
交曲线
于两个不同的点
、
（点
在
与
之间）.

（1）求曲线
的方程；

（2）是否存在直线
，使得
，并说明理由.

22．（本小题满分13分）

已知函数
（
，
为自然对数的底数）.

（1）求函数
的最小值；

（2）若
≥0对任意的
恒成立，求实数
的值；

（3）在（2）的条件下，证明：

2013年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

高三数学（理科）参考答案与评分标准

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

C

A

B

D

B

D



一、选择题（
）

二、填空题（
）

选做题： 9．7 ； 10．
； 11．5；

必做题：12．
； 13．3； 14．
； 15．4； 16．①③④．

三、解答题：

17解：（1）由已知，根据正弦定理得

即
， 由余弦定理得

故
………………6分

（2）由（1）得：

故当
时，
取得最大值1.………………12分

18解：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.

则
………………3分

（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.[

所以
………………4分

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是
.

（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量
的可能值为0，30，60，90，120.………5分

；
；

；
；

…………10分

所以，随机变量
的分布列为：

其数学期望
…………12分

19（1）解法1：在如图1所示的△
中，设
，则
．

由
，
知，△
为等腰直角三角形，所以
.

由折起前
知，折起后（如图2），
，
，且
，

所以
平面
．又
，所以
．于是

…………4分

，

当且仅当
，即
时，等号成立…………5分

故当
，即
时, 三棱锥
的体积最大．…………6分

解法2：同解法1，得
．

令
，由
，且
，解得
．

当
时，
；当
时，
．

所以当
时，
取得最大值．

故当
时, 三棱锥
的体积最大．

（2）解法1：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系D-
.

由（Ⅰ）知，当三棱锥A-BCD的体积最大时，BD＝1,AD＝CD＝2.

于是可得D（0,0,0,），B（1,0,0），C（0,2,0），A（0,0,2）M（0,1,1）E（
，1,0），且BM＝（-1，1,1）. …………7分

设N（0,
, 0），则EN＝
,
-1,0).因为EN⊥BM等价于EN·BM＝0,即（
，
-1,0）·（-1,1,1）＝
+
-1＝0，故
＝
，N（0,
，0）………8分

所以当DN＝
时（即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，EN⊥BM.

设平面BMN的一个法向量为n=(
,
,
),由
可取
＝(1,2,-1）……10分

设
与平面
所成角的大小为
，则由
，
，可得

，即
．…………11分

故
与平面
所成角的大小为
…………12分

解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥
的体积最大时，
，
．

如图b，取
的中点
，连结
，
，
，则
∥
.

由（Ⅰ）知
平面
，所以
平面
.

如图c，延长
至P点使得
，连
，
，则四边形
为正方形，

所以
. 取
的中点
，连结
，又
为
的中点，则
∥
，

所以
. 因为
平面
，又
面
，所以
.

又
，所以
面
. 又
面
，所以
.

因为
当且仅当
，而点F是唯一的，所以点
是唯一的.

即当
（即
是
的靠近点
的一个四等分点），
．

连接
，
，由计算得
，

所以△
与△
是两个共底边的全等的等腰三角形，

如图d所示，取
的中点
，连接
，
，

则
平面
．在平面
中，过点
作
于
，

则
平面
．故
是
与平面
所成的角．

在△
中，易得
，所以△
是正三角形，

故
，即
与平面
所成角的大小为

20解：（1）由题意，得
即
…………1分

故当
时，

当
=1时，
，而当
=1时，
+5＝6,

所以，
…………2分

又
，即