科目：数学（文科）

（试题卷）

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。

2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。

姓 名

准考证号

绝密★启用前

2013年长沙市高考模拟试卷（一）

数 学（文科）

长沙市教科院组织名优教师联合命制

满分：150分 时量：120分钟

说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.

一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知
是复数，i是虚数单位，
在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么

A．
B．
C．
D．

2．已知不等式
>0的解集为(-1，2)，
是
和
的等比中项，那么
=

A．3 B．-3 C．-1 D．1

3．以双曲线
的离心率为首项，以函数
的零点为公比的等比数列的前
项的和

A．
B．
C．
D．

4．当
是下列的( )时，f ′(x)一定是增函数。

A．二次函数 B．反比例函数 C．对数函数 D．指数函数

5．已知几何体M的正视图是一个面积为2
的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为

A．6
和

B．6
+4
和

C．6
+4
和

D．4(
+
)和

6．执行下列的程序框图，输出的

A．9900 B．10100 C．5050 D．4950

7．与抛物线
相切倾斜角为
的直线
与
轴和
轴的交点分别是A和B，那么过A、B两点的最小圆截抛物线
的准线所得的弦长为

A．4 B．2
C．2 D．

8．已知直线
与平面
平行，P是直线
上的一点，平面
内的动点B满足：PB与直线
成
。那么B点轨迹是

A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．两直线

9．使得函数
的值域为
的实数对

有( )对

A．1 B．2 C．3 D．无数

二．填空题：(每大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上)选做题（从14题、15题中选一题作答，全做则按14题记分）

10．
表示函数
的导数，在区间
上，随机取值
,
的概率为 ；

11．从正方体的两相邻表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成60o的概率

为 ；

12．已知x
(0，
)时，sinx

,那么p、q、r的大小关系为 ；

13．已知向量
，
，设集合
，
，当
时，
的取值范围是 ；

14．（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P自极点出发作直线运动到达圆：
的圆心位置后顺时针方向旋转60o后直线方向到达圆周
上，此时P点的极坐标为 ；

15．（优选法和试验设计初步4-7）一个单峰函数
的因素x的取值范围是[20，30]，用黄金分割法安排试点，x1，x2，x3，x4 …中，若x1

16．方程
+
=1(
{1，2，3，4，…，2013})的曲线中，所有圆面积的和等于 ，离心率最小的椭圆方程为 .

三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．设函数
在
处取最小值.

(1)求
的值;

(2)在
ABC中,
分别是角A,B,C的对边,已知

，求值
.

18．如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起， 使得△ABD与△ABC成直二面角
,如图二，在二面角
中.

(1)求证：BD⊥AC；

(2)求D、C之间的距离；

(3)求DC与面ABD成的角的正弦值。

19．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为
元/千克，政府补贴为
元/千克，根据市场调查，当
时，这种食品市场日供应量
万千克与市场日需量
万千克近似地满足关系:
，
。当
市场价格称为市场平衡价格。

（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；

（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？

20．设命题p:函数
在(0，+
)上是增函数；命题q:方程
有两个不相等的负实数根，若p
q是真命题。

(1)求点P(a，b)的轨迹图形的面积；

(2)求a+5b的取值范围。

21．数列{
}中，a1=3，
，

(1)求a1、a2、a3、a4；

(2)用合情推理猜测
关于n的表达式(不用证明)；

(3)用合情推理猜测{
}是什么类型的数列并证明；

(4)求{
}的前n项的和。

22．已知
，点B是
轴上的动点，过B作AB的垂线
交
轴于点Q，若

,
.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)是否存在定直线
，以PM为直径的圆与直线
的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

2013年长沙市高考数学模拟试卷（一）

数学（文科）参考答案及评分标准

一．选择题：(本大题共9小题,每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9



答案

A

D

B

D

C

B

C

A

B



二．填空题：(每大题共小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上)

10.
11.
12. q

13. (-8，1] 14. (2
，
) 15. 21．46

16.
；
+
=1和
+
=1，

三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.解: 解：(1)
f(x)=2
=sinx(2cos2
-1)+cosxsin

= sinxcos
+ cosxsin
=sin(x+
),

依题意，sin(
+
)=-1，
0<
<
,

=
;………………4分

(2)由(1) f(x)= sin(x+
)= sin(x+
)=cosx,

，
cosB= -
，

0<
<
,
B=
；

由正弦定理，
=
=

sinA=
，
a

C=
-A-B=
；………………………9分

=

=
=
=
………12分

18.解: 解：(1)依题意，面ABD
面ABC，AB是交线，

而BD
AB，
BD
面ABC，又AC
面ABC，

BD⊥AC；…………………………4分

(2)由(1)知，BD面ABC，而BC
面ABC，

BD⊥BC；Rt
DBC中，BC=BA=2，BD=2，

DC=
=
=2
；…………………8分

(3)取AB的中点H，连CH、DH和DC，

△ABC是正三角形，

CH
AB，又
面ABC
面ABD，

CH
面ABD，

DH是DC在面ABD内的射影，

CDH是DC与面ABD成的角。

而CH=
BC=
，由(2)DC=2
，

sin
CDH=
=
=
即为所求。………………12分

19.解: （1）由P=Q得2(x + 4t -14 )= 24+8ln
（16≤x≤24 ，t>0）。

t=
-
x+ ln
（16≤x≤24）。………………………3分

t′=-
-
<0，
t是x的减函数。

tmin=
-

24+ ln
=
+ln
=
+ ln
;………………………5分

tmax=
-

16+ ln
=
+ ln
,
值域为[
+ ln
，
+ ln
]…………7分

（2）由(1) t=
-
x+ ln
（16≤x≤24）。

而x=20时，t=
-

20 + ln
=1.5(元/千克) ……………………9分

t是x的减函数。欲使x
20，必须t
1.5(元/千克)

要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克。……2分

20. 解：(1)
f(x) =
，f ′(x)=
，
p真
x
(0，+
)时，

>0
a-b+5>0,(2′)
方程x2+
x+b-2=0有两个不相等的负实数根

，

即q真

；…………… 5分

若p
q是真命题。则p真q真，

点P(a，b)的轨迹图形如图,
ABC

的内部；(8′) 由边界可得A(0，2)，B(-3，2)，C(-
,
)

AB