永州市2013年高考第一次模拟考试试卷

数 学（理科）

命题人：申俭生（永州市三中） 左加（永州市一中） 王勇波（祁阳县一中）

审题人：唐作明（永州市教科院）

注意事项：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。考试时间120分钟，满分150分。答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束时，只交答题卡。

参考公式：

锥体的体积公式V＝
Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

如果事件A，B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1． 设集合
，则

A．
B．

C．
D．

2． “
”是“
”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

3． 如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是

A．
B．
　　 C．
D．

4．
＝

A．
B．1 C．2 D．

5．甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业绩，随机选了10天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图，由图中数据可知

A．甲网店的极差大于乙网店的极差 B．甲网店的中位数是46

C．乙网店的众数是42 D．甲网店的销售业绩好

6．等差数列
的前
项和为
，
，
，等比数列
中，
，
，则
的值

A．
B．
C．
或
D．2或－2

7．若
，则

A．
B．
C．
D．

8．设函数f(x)＝－，g(x)＝ax2＋bx（a，b∈R，a≠0），若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是

A．当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0

B．当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0

C．当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0

D．当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0

二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）

（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分）．

9．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，∠C＝
，则∠AED＝_____．

10．已知x, y, z∈R，且
，则
的最大

值是 ．

11．已知在平面直角坐标系
中，圆C的参数方程为
(
为参数)，与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点O为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
，则圆C截直线l所得的弦长为 ．

（二）必做题（12～16题）

12． 二男二女共四个学生站成一排照相，两个女生必须相邻的站法有　　　　　种．（用数字作答）

13．已知A、B是圆C (C为圆心）上的两点，
＝2，则
＝ ．

14．双曲线C：
的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上一动点，点Q的坐标是（1，4），则|PF1|＋|PQ|的最小值为　　 　．

15．执行如图所示的程序框图，则输出的复数
是 ．

16．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面至多埋一个雷，如果无雷掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块(至多八个)中雷的个数(0常省略不标)，如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷(方块上标有旗子)，则上方左起八个方块中(方块正上方对应标有字母)，能够确定一定不是雷的有 ，一定是雷的有 ．(请填入方块上方对应字母)

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）设△
的内角
所对的边分别为
，已知

．

(1) 求
的面积；

(2) 求
的值．

18．（本小题满分12分）永州市举办科技创新大赛，某县有20件科技创新作品参赛，大赛组委会对这20件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分，每个方面评分均按等级采用3分制(最低1分，最高3分)，若设“创新性”得分为
，“实用性”得分为
，得到统计结果如下表，若从这20件产品中随机抽取1件．

（1）求事件A：“x ≥2且y≤2”的概率；

（2）设ξ为抽中作品的两项得分之和，求ξ的数学期望．

 创 新 性





1分

2分

3分



实

用

性

1分

2

0

2





2分

1

4

1





3分

2

2

6





19．（本小题满分12分）如图所示，直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90o，AD＝2，AB＝3，CD＝4，P在线段AB上，BP＝1，O在CD上，且OP∥AD，将图甲沿OP折叠使得平面OCBP⊥底面ADOP，得到一个多面体(如图乙)，M、N分别是AC、OP的中点．

(1) 求证：MN⊥平面ACD；

(2) 求平面ABC与底面OPAD所成角（锐角）的余弦值．

20． (本小题满分13分)提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足
，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．

(1) 当0

(2) 当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：

辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据
）

21．（本小题满分13分）在直角坐标系xoy中，椭圆

C1：
的离心率
，

F是抛物线C2：y2＝4x的焦点， C1与C2交于

M，N两点(M在第一象限)，且|MF|＝2．

(1) 求点M的坐标及椭圆C1的方程；

(2) 若过点N且斜率为k的直线l交C1于另一点P，

交C2于另一点Q，且MP⊥MQ，求k的值．

22．(本小题满分13分) 已知函数
．

(1) 若函数
在定义域内为减函数，求实数
的取值范围；

(2) 如果数列
满足
，
，试证明：

当
时，
．

永州市2013年高考第一次模拟考试

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题(每小题5分，共40分)

ACDA DCAB　

二、填空题(每小题5分，共35分)

(一)选做题(9－11题，考生只能从中选做2题，如果多做则按前两题计分)

9．
10．
11． 4

(二)必做题(12－16题)

12． 12 13. 2 　 14. 11

15.
16． (1)A，C，E； (2)B，D，F，G

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)

解：(Ⅰ)在△
中，∵
，

∴
． 　　 ………………………2分

∴
． 　　　　　　　　　　 ………………………5分

(Ⅱ)由余弦定理可得，

∴
． …………………………………………7分

又由正弦定理得，
，

∴
． 　　　　 ……………………9分

　　　　　　　　　　　　　　 …………………10分

∴
． …………12分

18．(本小题满分12分)

解：(1) 从表中可以看出，事件A：“x ≥2且y≤2”的作品数量为7件，

故“x ≥2且y≤2”的概率为
． …………5分

(2) 方法一：由表可知“创新性”得分
有
分、
分、
分三个等级，每个等级分别有5件，6件，9件，“创新性”得分
的分布列为：



















则“创新性”得分的数学期望为

＝
； …………8分

“实用性”得分
有
分、
分、
分三个等级，每个等级分别有4件，6件，10件，

“实用性”得分
的分布列为：





















故“实用性”得分的数学期望为

＝
…………10分

所以ξ数学期望Eξ＝E (x＋y)＝Ex＋Ey＝2.2＋2.3＝4.5　　　　　　　 …………12分

方法二：作品的总得分ξ的可能取值为2分，3分，4分，5分，6分，

由表中可知对应的作品数量分别为2件，1件，8件，3件，6件，　 …………8分

ξ

2

3

4

5

6



P













则作品的总得分ξ的分布列为：　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

所以ξ数学期望为

Eξ＝

　　　　　　　　 …………12分

19．(本小题满分12分)

证明 : (1)取CD的中点为Q，连接MQ，OQ，OQ
CD，

依题意知：面OCD⊥底面OPAD，

AD⊥OD，AD⊥平面OCD，

而OQ
面OCD，AD⊥OQ，

又CD
AD＝D，

所以OQ
面ACD，

MQ是
ACD的中位线，故MQ
，NO
，

则
，所以MN∥OQ，

故MN⊥平面ACD；　 …………5分

(2) 方法一：如图所示，分别以OP，OD，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

B(2，0，1)，A(2，2，0) C(0，0，2)，

底面OPAD的一个法向量
，

设平面ABC的法向量为
，

，　　　 　…………7分

依题知：
，

即
，

令x＝1，则y＝1，z＝2，
，
，

故平面ABC与底面OPAD所成角的余弦值为
． …………12分

方法二：延长CB交OP于E，连接AE，

则AE是面ABC与底面OPAD的交线，

过O作OF⊥AE于F，连CF，

则∠CFO就是二面角C－AE－O的平面角，

，

，

∠CFO＝
，

故平面ABC与底面OPAD所成角的余弦值为
．　　　　　　　　 ………12分

20．(本小题满分13分)

解：(1) 由题意：当0＜x≤50时，v(x)＝30；

当50≤x≤200时，由于
，

再由已知可知，当x＝200时，v(0)＝0，代入解得k＝2000.

故函数v(x)的表达式为

…………5分

(2) 依题意并由(1)可得

当0≤x≤50时，f(x)＝30x，当x＝50时取最大值1500. 　　　　　　 …………8分

当50

取等号当且仅当
，

即
时，f(x)取最大值。 …….12分

（这里也可利用求导来求最大值）

综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，

最大值约为3056辆/小时．　　　　　　　　　　　　　　　 …………….13分

21．(本题满分13分)

解：(1) 抛物线C2：y2＝4x，2p＝4，p＝2，

设M(x0，y0)，

|MF|＝x0＋
，

x0＝1， y0＝2，

椭圆C1：
的离心率
，

得
，
，
，

椭圆C1：
过点M(1，2)，

求得
，
，

椭圆C1的方程是
.………6分

(2) 点N(1，－2)，直线l的方程为y＋2＝k(x－1)，与C1：
，

联立消去y得：4
，

整理得
(i)

设P(x1，y1)，易知1，x1是方程(i)的两根，x1＝
，

代入直线l的方程得
，　　　　　　　　　　　　　　…………….8分

y＋2＝k(x－1)与y2＝4x联立消去x得：
(ii)

显然k≠0，设点Q(x2，y2)，易知－2，y2是方程(i)的两根，－2
y2＝
，

得
，代入抛物线得
，　　　　　　　　　　　…………….10分

故
，M(1，2)

，

由MP⊥MQ有
， ………….11分

即
，

整理得
，求得
． ….13分

22．(本题满分13分)

解：(1) 函数
的定义域为
.

.……………2分

依题意，
恒成立，所以

由
，知
，

，∴p的取值范围为