科目：数学（理科）

（试题卷）

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。

2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。

姓 名

准考证号

绝密★启用前

2013年长沙市高考模拟试卷（一）

数 学（理科）

长沙市教科院组织名优教师联合命制

满分：150分 时量：120分钟

说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知
是复数，i是虚数单位，
在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么

A．
B．
C．
D．

2．已知不等式
的解集为
，
是二项式
的展开式的常数项，那么

A．
B．
C．
D．

3．以双曲线
的离心率为首项，以函数
的零点为公比的等比数列的前
项的和

A．
B．
C．
D．

4．已知几何体M的正视图是一个面积为2
的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为

A．6
和

B．6
+4
和

C．6
+4
和

D．4(
+
)和

5．执行下列的程序框图，输出的

A．9900 B．10100 C．5050 D．4950

6．与抛物线
相切倾斜角为
的直线L与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A、B两点的最小圆截抛物线
的准线所得的弦长为

A．4 B．2
C．2 D．

7．已知直线
与平面
平行，P是直线
上的一点，平面
内的动点B满足：PB与直线
成
。那么B点轨迹是

A.．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．两直线

8．使得函数
的值域为
的实数对

有( )对

A．1 B．2 C．3 D．无数

二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)选做题（从13题、14题和15题中选两题作答，全做则按前两题记分）

9．
表示函数
的导数，在区间
上，随机取值
,
的概率为 ；

10．已知向量
，
，设集合
，
，当
时，
的取值范围是 ；

11．计算：
_____________；

12．从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为 ；

13．（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P自极点出发作直线运动到达圆：
的圆心位置后顺时针方向旋转60o后直线方向到达圆周
上，此时P点的极坐标为 ；

14．（几何证明4-1）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，

⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直

线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，

EA=1，
AMB=30o，那么⊙O2的半径为 ；

15．(不等式4-5)已知
，那么
的最小值为 ；

16．方程
+
=1(
{1，2，3，4，…，2013})的曲线中，所有圆面积的和等于 ，离心率最小的椭圆方程为 .

三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．函数
在一个周期内的图像如图所示,A为图像的最高点,B.C为图像与
轴的交点,且
为正三角形.

(1)若
,求函数
的值域;

(2)若
,且
,求
的值.

18．如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起， 使得△ABD与△ABC成30o的二面角
,如图二，在二面角
中.

(1) 求D、C之间的距离；

(2) 求CD与面ABC所成的角的大小;

(3) 求证：对于AD上任意点H，CH不与面ABD垂直。

19．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为
元/千克，政府补贴为
元/千克，根据市场调查，当
时，这种食品市场日供应量
万千克与市场日需量
万千克近似地满足关系:
，
。当
市场价格称为市场平衡价格。

（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；

（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？

20．设命题p:函数
在
上是增函数；命题q:方程
有两个不相等的负实数根。求使得p
q是真命题的实数对
为坐标的点的轨迹图形及其面积。

21．已知
，点B是
轴上的动点，过B作AB的垂线
交
轴于点Q，若

,
.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)是否存在定直线
，以PM为直径的圆与直线
的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

22．(1)已知
,求证：
;

(2)已知
，
>0(i=1,2,3,…,3n)，求证：

+


+


+…+

2013年长沙市高考数学模拟试卷 （一）

数学（理科）参考答案及评分标准

一．选择题：(本大题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

B

C

B

C

A

B



二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)

9.
10. (-8，1] 11.
12.

13. (2
，
) 14. 3 15.

16.
；
+
=1和
+
=1，

三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.解(1)由已知得:

又
为正三角形,且高为
,则BC=4.所以函数
的最小正周期为8,即
,
.

因为
,所以
.

函数
的值域为
………………………6分

(2)因为
,有

由x0

所以，

故

………………………………………………12分

18. 解: 依题意，
ABD=90o ，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，
△ABD与△ABC成30o的二面角,

DBY=30o，又AB=BD=2，
A(0，0，2)，B(0，0，0)，

C(0，
，1)，D(1，
，0)，

(1)|CD|=
=
……… 5分

(2)
x轴与面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。

设CD与面ABC成的角为
，而
= (1，0，-1)，

sin
=
=

[0，
]，

=
；…………………8分

(3) 设
=t
= t(1，
，-2)= (t，
t，-2 t)，

=
+
=(0，-
,1) +(t，
t，-2 t) = (t，
t-
，-2 t+1)，

若


，则 (t，
t-
，-2 t+1)·(0，0，2)=0 得t=
， ……………10分

此时
=(
，-
，0)，

而
=(1，
，0)，
·
=
-
=-1
0,

和
不垂直，

即CH不可能同时垂直BD和BA，即CH不与面ABD垂直。…………………12分

19. 解：（1）由P=Q得2(x + 4t -14 )= 24+8ln
（16≤x≤24 ，t>0）。

t=
-
x+ ln
（16≤x≤24）。 …………………3分

t′=-
-
<0，
t是x的减函数。

tmin=
-

24+ ln
=
+ln
=
+ ln
; ……………………5分

tmax=
-

16+ ln
=
+ ln
,
值域为[
+ ln
，
+ ln
] ………7分

（2）由(1) t=
-
x+ ln
（16≤x≤24）。

而x=20时，t=
-

20 + ln
=1.5(元/千克) …………………9分

t是x的减函数。欲使x
20，必须t
1.5(元/千克)

要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克。……12分

20. 解：
f(x) =
，p真
f ′(x)=
>0

对于x
(0，+
)成立
a-b+5>0。

q真
方程x2-ax+b-2=0有两个不相等的负实数根

…………4分

p
q是真命题
p真且q真

实数对(a，b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分, 不包括边界。) ……………8分

解：
得a1= -2，a2= 6， 解
得a= -3;

(a，b)为坐标的点的轨迹图形的面积：

S=
+
=
+
…………11分

=(
a2+3a)|
+
a3|
=
………………………………13分

21. 解: (1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=
|m|，
m