永州市2013年高考第一次模拟考试试卷

数 学 (文科)

命题人：陈拥军(祁阳县一中) 田社生(永州市一中) 刘洞春(江华县二中)

审题人：唐作明(永州市教科院)

注意事项：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。考试时间120分钟，满分150分。答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束时，只交答题卡。

一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设集合
，
，则正确的是

A．
B．
C．
D．

2．复数
(
为虚数单位)的模为

A．2 B．3 C．
D．4

3．命题
:
，则
为

A．
B．

C．
D．

4． 已知某四棱台的上、下底面为正方形，其三视图如图所示，则该几

何体的表面积是

A．20

B．

C．64

D．68

5．已知x，y的值如右表所示，若y与x呈线性相关且其回归

x

4

6

8



y

5



6



直线方程为
，则a＝

A．4 B．5

C．6 D．7

6．如图，A、B、D、E、F为各正方形的顶点．若向量
则

A．

B．

C．

D．

7．若双曲线
与椭圆
的焦点相同，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．2 D．

8． 在
中，若
，则
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

9．已知定义域为
的偶函数
满足
，若函数

有三个不同的零点，则实数
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

二、填空题(本大题共7个小题，考生作答6个小题，每小题5分，满分30分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．)

(一) 选做题(请考生在10、11两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分)

10．在极坐标系中，曲线

与曲线

的图象的交点个数为

11．已知一种材料的最佳加入量在100g到1100g之间，若用0.618法安排试验，且第一、二试点分别为
，则当
为好点时，第三次试点
是 g(用数字作答)

(二)必做题(12～16题)

12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入
的值为
，则输出的
值是

13．设不等式组
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1 的概率

是________.

14．设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为 ．

15．已知函数
，给出下列三个结论：

①
的解集为
；

②
为极小值，
为极大值；

③
既没有最大值，也没有最小值．

其中所有正确结论的序号是 ．

16．若两整数a,b除以同一个整数m，所得余数相同，则称a, b对模m同余．即当
时，若
, 则称a、b对模m同余，用符号
表示．

(1) 若
且
，则
的所有可能取值为 ；

(2) 若
,满足条件的
由小到大依次记为

，…，当数列
前
项的和为
时，则
．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)若函数
在R上的最大值为5，

(1)求m的值；

(2)求
的单调递减区间．

18．(本小题满分12分)某市政府为了了解居民的生活用电情况，以使全市在用电高峰月份的居民生活不受影响，决定制定一个合理的月均用电标准．为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了
位居民在2012年的月均用电量(单位：度)数据，样本统计结果如下图表：

分组

频数

频率



[0，10]



0.05



[10，20]



0.20



[20，30]

35





[30，40]







[40，50]



0.15



[50，60]

5





合计

n

1





(1) 分别求出
的值；

(2) 若月用电紧张指数
与月均用电量x(单位：度)满足如下关系式：
，将频率视为概率，求用电紧张指数不小于70%的概率．

19．(本小题满分12分)如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．

20．(本小题满分13分)已知动圆过定点A(2，0)，且与直线
相切.

(1) 求动圆圆心的轨迹
的方程；

(2) 是否存在过点
的直线
，与轨迹
交于
两点，且以线段PQ为直径的圆过定点A？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由.

21．某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入．已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n－1年销售收入an与an－1万元满足关系式：an＝an－1＋
－100．

(1) 设今年为第一年，求第n年的销售收入an；

(2) 依上述预测，该企业前几年的销售收入总和Sn最大．

22．(本小题满分13分)已知函数
，(其中m为常数)

(1) 试讨论
在区间
上的单调性；

(2) 令函数
．当
时，曲线
上总存在相异两点
、
，使得过
、
点处的切线互相平行，求
的取值范围.

永州市2013年高考第一次模拟考试

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共45分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9



答案

D

C

C

D

A

B

C

A

A





二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，满分35分）

（一）选做题 10. 2 11．336

（二）必做题 12． 0 13．
14．10 15．①②

16．(1) 2，4 (2) 10

三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．解：（1）
……4分

故
………………6分

（2）由（1）可知

则
，

解之得
…………10分

所以，函数y＝
的单调递减区间为
………12分

18．解：（1）第3组的频率＝
………2分

样本容量
………………4分

………………6分

（2）由
得
………………9分

所以，用电紧张指数不小于70%的概率＝
…………12分

19. （1）证明：取
的中点
，连结
．

∵
为
的中点，

∴
且
．

∵
平面
，
平面
，

∴
，∴
． …………2分

又
，∴
．

∴四边形
为平行四边形，则
……4分

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
． …………6分

(2) 取
的中点
，连结
．

为等边三角形

又
平面
，
ACD

所以
，即
为
与平面
所成角. ……………8分

不妨设
，则
.

在
中，

直线CE与面ADE所成角的正弦值为
. 　　　　　　　　　　 ………12分

20．解：(1)由题意可知，圆心到定点
的距离与到定直线
的距离相等，

由抛物线定义可知，轨迹C为以
为焦点，
为准线的抛物线，

已知
，所以抛物线方程为
………… 4分

(2) 假设存在直线
符合题意. ………… 5分

由题意易知，直线
的斜率
存在且不为零，

又因过点(0，1)，故设直线
的方程为
， ………6分

联立直线与抛物线方程得
，消元整理得
，

设交点坐标为
，

则
①

且
; ………9分

此时

解得
符合①， ………12分

所以存在符合题意的直线
，其方程为
. ………13分

21．解：(1) 题意可知

……………………

3分

以上各式相加得：

6分

(2) 要求销售收入总和Sn的最大值，即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和.

∵

要使
≥0

即使
≥0 8分

也就是使
≤1

令bn＝
，

则有bn－bn－1＝
＝
10分

显然，当
≥3时，bn
bn－1，

而b5
1，b6
1

∴

∴ 该企业前5年的销售收入总和最大. 　　…13分

22．解：(1)
………1分

………5分

（2）由题意，可得
（
，且
）

即


…… 7分

∵
，由不等式性质可得
恒成立，又

∴


对
恒成立

令
，

则
对
恒成立

∴
在
上单调递增，∴
… … 11分

故
… … … 12分

从而“
对
恒成立”等价于“
”

∴
的取值范围为
… … … … … … 13分