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2014—2015学年度上学期期末考试

高 二数 学（理科） 试 卷

命题人：邓国平 时量：120分钟

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：

1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效．

2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级’’和“考号”写在答题卷上．

3．考试结束，只交答题卷．

温馨提示：请同学们认真审题，规范答题，沉着应考，祝您成功！

第Ⅰ卷 (选择题共60分)

一、选择题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）

1、下列求导数运算正确 的是（ A ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.
B.
C.
D .

2、已知
，则
的函数值等于（ D ）

A．
B．
C．
D．

3、已知命题p ：
x∈(0，)，使得cos x≥x，则该命题的否定是(　D　)

A．
x∈(0，)，使得cos x>x B．
x∈(0，)，使得cos x≥x

C．
x∈(0，)，使得cos x

4、已知椭圆的标准方程
，则椭圆的焦点坐标为（ B ）

A.
B.
C.
D.

5、已知函数
则
一定是下列的（ C ） 　　　　　　　　　　

A.
B.
C.
(
为常数) D.
(
为常数)

6、在△ABC中，“A＝30°”是“cos A＝
”的 (　C　) 条件

A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

7、点
的极坐标
化为直角坐标为（ A ）

A．
B．
C．
D．

8、曲线
在
处的切线方程为 (　A )

A．
B.
C．
D．

9、动点
到两个定点
、
的距离之和为
，则点
的轨迹为（ C ）

A.椭圆 B.直线
C.线段
D. 抛物线

10、曲线
在
处切线的斜率为 (　D　)

A．
B．
C．
D．

11、 以抛物线
的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为(　B　)

A．
　B.
C．
D．

12、函数
的最大值为（ B ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 (非选择题共85分)

填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

13、函数的
极大值为

14、圆
（
是参数）化为普通方程（即消去参数）为

15、
是
上的单调增函数，则实数
的取值范围

16、函数
，
，若任意
，存在
，使
，则实数
的取值范围是__________．

三、解答题（本大题共6小题，65分，解答时应写出解答过程或证明步骤）′

17、（本题10分）求下列双曲线的标准方程：

（1）若某双曲线方程为
，求此双曲线的焦点坐标和离心率；（2）与双曲线
有公共焦点，且过点
的双曲线；

解：（1）易知
，故焦点坐标为
，离心率
……………5分

∵
的焦点为
，

∴设所求双曲线方程为：
, ……………7分

点
在双曲线上，∴
，得
，……………9分

∴所求双曲线方程为
. ……………10分

（本题10分）命题p:“
”，命题q:

“
”，若“p且q”为真命题，求实数
的取值范围。

解:若p是真命题．则
, ∵
,∴
; ……………4分

若q为真命题,则方程
有实根,
……………8分

由题意知：p真，q也真, ∴
或
. ……………10分

19、（本题10分）在平面直角坐标系
中，直线
与抛物线
相交于不同的
两点．(1)如果直线
过抛物线的焦点，求
的值；(2)如果
，证明直线
必过一定点，并求出该定点．

解：(1)抛物线焦点为
，设
：
，代入抛物线
得
，

设
，则
， ……………2分

……………5分

：设
：
代入抛物线
得
，

设
，则
， ……………7分

∴
·
＝
.
.

∴直线
过定点

……………10分

20、（本题10分）函数
（1）求曲线
在点
处的切线方程；（2）若关于
的方程
有且只有两个不同的实根，求实数
的值.

解：（1）
…………2分

∴曲线
在
处的切线方程为
，即
； …………5分

令

易知
， …………8分

…………10分

21、（本题12分）已知函数
的图象过点
，且在点
处的切线方程
，（1）求函数
的解析式；（2）求函数
的单调区间。

解：（1）由
的图象经过
，知
，所以
，

，由在点M（
）处的切线方程为

∴
即 ∴
解得

故所求的解析式是
……………6分

（2）
，令
，解得

当
或
时，
…………8分

当
时，
…………10分

故
在
和
是增函数，

在
内是减函数。 …………12分

22、（本题13分）已知函数
，
．(1)求
的最大值与最小值；(2)若
对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围；

解　(1)∵函数
，∴f ′(x)＝－，令f ′(x)＝0得x＝±2，

∵
，当10；

∴f (x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，

∴f (x)在x＝2处取得极小值f (2)＝－ln 2； …………2分

又f (1)＝，f (3)＝－ln 3，∵ln 3>1，∴－(－ln 3)＝ln 3－1>0，∴f (1)>f (3)，

∴x＝1时f (x)的最大值为 ，x＝2时函数取得最小值为－ln 2. …………6分

(2)由(1)知当
时，f (x)≤，故对任意
，f (x)<4－at恒成立，

只要4－at>对任意t∈[0,2]恒成立，即at<恒成立， …………10分

记g(t)＝at，
．

∴，解得a< ，∴实数a的取值范围是(－∞，)．…………13分