一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的序号填在答案卷上，否则不给分.）

1．双曲线
的虚轴长是（ ）

A．2 B．
C．4 D．2

2．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知
，
， 则cos（B+C）=（ ）

A．
B．
C．
D．

3．在△
中，内角
的对边分别为
，若
，
，
，则这样的三角形有（ ）

A. 一个 B. 两个 C. 至多一个 D. 0个

4．设等比数列
的公比
， 前n项和为
，则
（ ）

A．2 B．4 C．
D．

5．已知a>0，x，y满足约束条件
，若z=2x+y的最小值为1，则a的值是( )

A．1 B．2 C．
D．

6．已知
，则向量
所在直线的夹角为 ( )

A. 45° 　 B. 60° C. 90° D. 120°

7．已知向量
，
，且
与
互相垂直，则
的值是（ ）

A．1 B．
C．
D．

8．过点（1，1）与双曲线
仅有一个公共点的直线共有（ ）

A.1条 B. 2条 C.3条 D.4条

9．在△ABC中，“△ABC是锐角三角形”是“
”的（ ）

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件

10．已知命题p：“ x∈[1,2]，2x2－a≥0”，命题q：“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A.
或
B.
或
)

C.
或
D.
或

11．已知等差数列
满足
，
，
，
，则的值为（ ）A．8 B．9 C．10 D．11

12．给出下列命题：（1）设、为两个定点，
为非零常数，
，则动点的轨迹为双曲线的一条分支；（2）若等比数列的前项和
，则必有
；（3）若
则
的最小值为2；（4）双曲线
有相同的焦点；（5）平面内到定点（3，-1）的距离等于到定直线
的距离的点的轨迹是一条直线.其中正确命题的个数是（ ）

A.1 个 B. 2个 C.3个 D.4个

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确的答案填在答案卷上，否则不给分.）

13．若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则的值为 ．

14．已知
，则
的最小值是____________．

15．若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，则2a＋b＋c的最小值为________．

16．一种计算装置，有一个数据入口和一个运算出口，执行某种运算程序．

（1）当从口输入自然数时，从口得到实数
，记为

；（2）当从口输入自然数
时，在口得到的结果
是前一结果
倍．要想从口得到
，则应从口输入自然数 .

三、解答题（本大题共6个小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把解答过程写在答案卷的对应区域内，否则不给分．）

（Ⅰ）用
表示
；

（Ⅱ）求
的长．

19．（本小题满分12分） (Ⅰ) 设数列
的前项和为
，且
，求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
是公比为q的等比数列，推导
的前n项和公式．

20．（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中的一条双曲线，它的中心在原点，左焦点为
,且过点
.

（Ⅰ）求该双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设点
，若是双曲线上的动点，求线段
的中点
的轨迹方程.

21．（本小题满分12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为40元/m，中间两道隔墙建造单价为24.8元/m，池底建造单价为8元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．

（Ⅰ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（Ⅱ）若由于地形限制，该池的宽不能超过5m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．



武平一中2014-2015学年度高二上学期第二次月考

数学（理科）试卷参考答案

1－12 DBADD BDCBA CC 13.6 14.
15. 4 16. 19

17．解：（Ⅰ）由题设
和
得，
，∴
4分∴
或
. 6分

（Ⅱ）由已知
7分由余弦定理得，
，

∴
―――10分

设
边上的高为
，由三角形面积相等得，
12分.

18．（1）
…5分

（2）
）…7分

=
…9分

=
…11分

，即
的长为
． ……12分

19．（Ⅰ）当
时，
．　 2分

当
时，


．――4分

∵
不适合上式,∴
　　 ―― 6分

（Ⅱ）设等比数列
的公比为q，其前n项和为
（1）

将（1）式两边分别乘以q得
（2）

（1）-（2）得
―――9分

当
时
或
――11分

当
时，
，所以
――12分

20．(1)由已知得双曲线的半焦距
，实半长轴
，则虚半轴轴
. 3分

又双曲线的焦点在轴上, ∴双曲线的标准方程为
. 5分

(2)设线段
的中点为
,点的坐标是
，

由
，得
， 9分

由点在双曲线上,得
, 11分

∴线段
中点
的轨迹方程是
. 12分

21.(1)设污水处理池的宽为xm，则长为
m

总造价为f(x)＝40×
＋24.8×2x＋8×162-----2分

＝129.6x＋
＋1296＝129.6
＋1296

≥129.6×2
＋1296＝3888元．-----4分

当且仅当x＝
(x>0)，即x＝10时取等号．-----5分

∴当长为16.2m，宽为10m时总造价最低，最低总造价为3888元．-----6分

(2)由限制条件知
设g(x)＋x＋

，由函数性质g(x)在
上是减函数，-----8分

∴当x＝5时(此时
＝32.4)，g(x)有最小值，-----10分

即f(x)有最小值129.6×
＋1296＝4536(元)．-----11分

∴当长为32.4m，宽为5m时总造价最低为4536元．-----12分

22． (I)依题意设椭圆的主程为：
，

抛物线
的焦点坐标为（0，1），――1分

又

，椭圆的方程为
――3分