一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．）

1．在
中，若
，则最大角的余弦是 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．数列{3n2－28n}中，各项中最小的项是( )

A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项

3．在
中，
(，
，分别为角, ,
的对边)，则
的形状为 ( )

A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形

4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40等于( )

A．40 B．70 C．80 D．90

6．如图目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OAPB(含边界)，若P(2,2)是该目标函数z＝ax－y的唯一最优解，则实数a的取值范围是( )

A．(－2，－1) B
.

C
D（-1，
.）

7．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为( )

A．30° B．45° C．60° D．90°

8．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为( )

A．1 B．0 C．1或0 D．1或3

9．已知函数f(x)＝4－x2，g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．

A ① B ② C ③ D ④

10. 已知集合
,



.若存在实数
使得
成立,称点
为“￡”点，则“￡”点在平面区域
内的个数是 ( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)

11、直线
是曲线
的一条切线，则实数b＝ ．

12、 已知
,且
成等比数列，则
的最小值是 ．

13．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．

14．已知△
为等腰直角三角形，

，点
为
边的三等分点，则
▲ ．

15、已知函数
是偶函数，直线
与函数
的图像自左向右依次交于四个不同点
．若
，则实数
的值为 ▲ ．

三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16 (12分)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，

命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围.

17.在
中，，
，分别为角, ,
的对边，且满足
.

(1)求角的大小；

(2)若
，
，求
的面积．

18如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.

(I)求证:

(II)

19、已知等差数列
的公差为
, 且
,

（1）求数列
的通项公式
与前项和
；

（2）将数列
的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列
的前3项,记
的前项和为
, 若存在
, 使对任意
总有
恒成立, 求实数
的取值范围.

20. (本小题满分13分）

某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工A型零件的工人数为名
.

(Ⅰ)设完成
型零件加工所需的时间分别为
小时,写出
与
的解析式;

(Ⅱ)当取何值时,完成全部生产任务的时间最短?

21．（本小题满分13分）已知椭圆
的离心率为
，且过点
.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点C（-1，0）且斜率为
的直线
与椭圆相交于不同的两点
，试问在轴上是否存在点
，使
是与无关的常数？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

17解：(1)由正弦定理得

a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，

代入(2a－c)cosB＝bcosC，

整理，得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，

即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA.

又sinA>0，∴2cosB＝1，

由B∈(0，π)，得B＝

(2)由余弦定理得

b2＝a2＋c2－2ac·cosB

＝(a＋c)2－2ac－2accosB.

将b＝，a＋c＝4，B＝
代入整理，得ac＝3.

∴△ABC的面积为S＝
acsinB＝
sin60°＝
.

18、解：(1)
是圆的直径，因此
,又
面
,所以
.

又
,所以
面
，又
在面
内，所以面
面
。

（2）法一：过点C作CD⊥AB,则
面
,连接
则
在面
上的射影图形是
.设二面角
为
，

则
.

所以所求的二面角的余弦值为
。

法三：坐标法略

19、 解：(1) 由
得
，所以
----------------------4分

， 从而
----------------------------------6分

(2)由题意知
---------------------------------------------8分

设等比数列
的公比为，则
，

随递减，

为递增数列，得
------------------------------------------------10分

又
，

故
，--------------------------------------------------------11分

若存在
, 使对任意
总有

则
，得
-----------------------------------------------------------13分

所以
……………………………………………7分

21解： （1）∵椭圆离心率为
，
.……………………1分

又椭圆过点（
，1），代入椭圆方程，得
.……………………2分

所以
.……………………………………………………………………4分

∴椭圆方程为
，即
. …………………………………………5分

（2）在x轴上存在点M
，使
是与K无关的常数. ……6分

证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使
是与k无关的常数，

∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K,∴L方程为
，

由
得
.………………7分

设
，则
……………8分

∵

∴
……………………9分

…………………………………………………………………………………………10分

设常数为t，则
. ……………………………………11分

整理得
对任意的k恒成立，

解得
，……………………………………………………12分

即在x轴上存在点M（
）， 使
是与K无关的常数. ……………13分