重庆复旦中学2014—2015学年度上期半期考试高2016级数学试题（理科）

　 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。

考试时间：120分钟，满分：150分。请将答案工整地书写在答题卡上

命题人：犹正才 审题人：莫定勇

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．如果AC＞0，BC＞0，那么直线Ax+By+C=0不通过（　　）

A．

第一象限

B．

第二象限

C．

第三象限

D．

第四象限



　

2．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（　　）

A．



B．



C．



D．





　3．木星的体积约是地球体积的
倍，则它的表面积约是地球表面积的（　　）

A．

60倍

B．

60
倍

C．

120倍

D．

120
倍



　

4．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中与AD′成60°角的面对角线的条数是（　　）

A．

4

B．

6

C．

8

D．

10



　5．有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．

16

B．

20

C．

24

D．

32



6．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（　　）

A．

﹣3

B．

2

C．

﹣3或2

D．

3或﹣2



　

7．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）

A．

l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3

B．

l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3



　

C．

l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面

D．

l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面



　8．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（　　）

（1）EP⊥AC；

（2）EP∥BD；

（3）EP∥面SBD；

（4）EP⊥面SAC．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个



　9．直线kx﹣y=k+2和x﹣ky=k（k＞1）与y轴围成的三角形的面积的最小值为（　　）

A．

3

B．



C．



D．





　10．点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=
，AC=2，若四面体ABCD的体积的最大值为
，则这个球的表面积为（　　）

A．



B．

8π

C．



D．





　二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.

11．已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是　_________　．

12．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R的半圆，则这个圆锥的底面积是　_________　．

13．直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），则经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程为　_________　．

14．已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为　_________　．

15．如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB?α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是　_________　．

　三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（13分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=AB，PC=BC，E、F、G分别为PA、AB、PB的中点，

（1）求证：EF∥平面PBC；

（2）求证：EF⊥平面ACG．

17．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：

（1）直线EF∥面ACD；

（2）平面EFC⊥面BCD．

18．（13分）已知三角形的顶点是A（﹣5，0）、B（3，﹣3）、C（0，2），

（1）求直线AB的方程；

（2）求△ABC的面积；

（3）若过点C直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k的范围．

19．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（
，
），点P在线段CD垂直平分线上，求：

（1）线段CD垂直平分线方程；

（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．

20．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．

（1）试用x表示圆柱的体积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．

　21．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点．

（1）求证：AB1∥平面C1DB；

（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．

重庆复旦中学2014—2015学年度上期半期考试

高2016级数学试题（理科）

参考答案与试题解析

一．选择题:ABCCB, ABBDC

二．填空题:

11．　
　．

　12．　
　．

　13．　2x+3y+1=0　．

14．　4　．

15．　
　．

　　三．解答题（共6小题）

16．（13分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=AB，PC=BC，E、F、G分别为PA、AB、PB的中点，

（1）求证：EF∥平面PBC；

（2）求证：EF⊥平面ACG．

考点：

直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有



专题：

空间位置关系与距离．



分析：

（1）由线面平行的判定定理EF∥平面PBC即可；

（2）由线面垂直的判定定理得到PB⊥平面ACG，又由PB∥EF，即可得到EF⊥平面ACG．



解答：

证明：（1）∵E、F分别为PA、AB的中点，∴EF∥PB，

又∵PB?平面PBC，EF?平面PBC，

∴EF∥平面PBC．

（2）∵PA=AB，PC=BC，G为PB的中点，

∴PB⊥AG，PB⊥CG，

又∵AG∩CG=G，

∴PB⊥面ACG，

又∵E、F分别为PA、AB的中点，

∴EF⊥平面ACG．



点评：

本题着重考查了线面平行、线面垂直的判定等知识，属于中档题．



　17．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：

（1）直线EF∥面ACD；

（2）平面EFC⊥面BCD．

考点：

直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有



专题：

证明题．



分析：

（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF?面ACD，AD?面ACD，满足定理条件；

（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD?面BCD，满足定理所需条件．



解答：

证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．

∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，

∵EF?面ACD，AD?面ACD，∴直线EF∥面ACD；

（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，

∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD

又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，

∵BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD



点评：

本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．



　

18．（13分）已知三角形的顶点是A（﹣5，0）、B（3，﹣3）、C（0，2），

（1）求直线AB的方程；

（2）求△ABC的面积；

（3）若过点C直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k的范围．

考点：

两点间的距离公式；直线的斜率．菁优网版权所有



专题：

计算题；直线与圆．



分析：

（1）由于A（﹣5，0）、B（3，﹣3），由两点式可求得直线AB的方程；

（2）利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线AB的距离dC﹣AB，易求|AB|=
，从而可求得△ABC的面积；

（3）由两点式易求kAC=
，kBC=﹣
，从而可得满足题意的k的取值范围．



解答：

解：（1）依题意，作图如下：

由两点式得直线AB方程为
=
，整理得：3x+8y+15=0，

（2）∵直线AB方程为3x+8y+15=0，

∴dC﹣AB=
，又|AB|=
，

∴S△ABC=
|AB|?dC﹣AB=
×
×
=
；

（3）∵kAC=
，kBC=﹣
，

要使过点C直线l与线段AB相交，

则k≥
或k≤﹣
．



点评：

本题考查两点间的距离公式与斜率公式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．



　

19．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（
，
），点P在线段CD垂直平分线上，求：

（1）线段CD垂直平分线方程；

（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．

考点：

两点间的距离公式；二次函数的性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有



专题：

直线与圆．



分析：

（1）由中点坐标公式求出CD的中点坐标，由两点求斜率得到CD所在直线的斜率，得到垂直平分线的斜率，由点斜式得直线方程；

（2）设出P点的坐标，直接由两点间的距离公式列式，利用二次函数求最值，并得到对应的P点的坐标．



解答：

解：（1）由C（4，0），D（
，
），

得线段CD的中点M
，
，

∴线段CD的垂直平分线的斜率为
，

∴线段CD垂直平分线方程为：
，即x﹣2y=0；

（2）设P（2t，t），

则）|PA|2+|PB|2=（2t﹣1）2+（t﹣1）2+（2t﹣2）2+（t﹣2）2=10t2﹣18t+10．

当t=
时，|PA|2+|PB|2取得最小值，即P
．



点评：

本题考查了两点间的距离公式，考查了直线方程的求法，训练了利用二次函数求最值，是中低档题．



　

20．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．

（1）试用x表示圆柱的体积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．

考点：

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有



专题：

计算题；空间位置关系与距离．



分析：

（1）根据圆锥的底面半径为2、高为6，可得内接圆柱的半径为x时，它的高h=6﹣3x，由此结合圆柱体积公式即可列出用x表示圆柱的体积的式子；

（2）由（1）可得圆柱的侧面积S侧=6π（2x﹣x2），结合二次函数的单调性与最值，可得当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．



解答：

解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，

∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x

因此，内接圆柱的高 h=6﹣3x；

∴圆柱的体积V=πx2（6﹣3x） （0＜x＜2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（2）由（1）得，圆柱的侧面积为

S侧=2πx（6﹣3x）=6π（2x﹣x2） （0＜x＜2）

令t=2x﹣x2，当x=1时tmax=1．可得当x=1时，（ S侧）max=6π

∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）



点评：

本题给出特殊圆锥，求它的内接圆锥的侧面积的最大值，着重考查了圆柱的体积、侧面积公式和旋转体的内接外切等知识点，属于基础题．



　

　21．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点．

（1）求证：AB1∥平面C1DB；

（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．

考点：

异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有



专题：

空间位置关系与距离；空间角．



分析：

（1）如图所示，连接B1C交BC1于E，连接DE，利用四边形BCC1B1是平行四边形及其三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明；

（2）由（1）知∠DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角，再利用余弦定理即可得出．



解答：

（1）证明：如图所示，

连接B1C交BC1于E，连接DE，

∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴B1E=EC．

又AD=DC．

∴DE∥AB1，

而DE?平面C1DB，AB1?平面C1DB，

∴AB1∥平面C1DB．

（2）解：由（1）知∠DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角，

在△DEB中，DE=5，BD=
，BE=5．

∴cos∠DEB=
=
．



点评：

本题考查了正三棱柱的性质、平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．