五模文科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．由图可以得到阴影部分表示的集合为
，
={2，3，4，5}，则
={1}，故选A．

2．
，故选D．

5．由题意可得
的图象上各个点的横坐标变为原来的
，可得函数
的图象．再把函数
的图象向右平移
个单位，即可得到
的图象，故选B．

6．在等差数列
中，因为
，所以
，所以
，故选A．

7．由题意：
，由
，故选A．

8．因为
，
，所以
，又
，所以
，①正确；

因为
，
，所以
或
，又
，所以
或
相交或
互为异面直线，②不正确；

因为
，
，所以
或
，又
，所以
或
相交，③不正确；因为
，
，所以
，又
，所以
，④正确，故选B．

9．此空间几何体是球体切去四分之一的剩余部分，表面积是四分之三的球表面积加上切面面积，切面面积是两个半圆面面积．故这个几何体的表面积是
．

故选B．

10．画出线性规划图可得最大值在点
处取得，故
，最小值在点
处取得，故
，则
的值是4，故选C．

11．分别过A、B作准线l：
的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设
，根据抛物线的定义，得
，∴梯形ACDB中，中位线
，可得
，
，∵线段AB的中点M到直线
的距离为1，可得
，
，解得
或3，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号

13

14

15

16



答案





1007







【解析】

13．所有基本事件数为36，其中满足向量
与
共线的基本事件数为3，故所求概率为
.

14．因为a、b的夹角为45°，且
，所以
，即

，解得
或
（舍）．

15．因为定义在R上的函数
满足
，所以
，所以函数
的周期为4，所以
．

16．由等比数列的性质知
，又因为各项均为正数，所以
．因为
，所以
，所以
，又
，其通项公式为
，将
代入得
，所以
．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

（Ⅱ）由余弦定理
得
，得
，

∴
，

当
时，△ABC面积的最大值为
． …………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图1，连接EO，OA，

∵E，O分别为B1C，BC的中点，

．

又
，且
，

∴四边形AOED是平行四边形，

即
，

． ………………………………………………………………（4分）

(Ⅱ) 证明：AA1，BB1为圆柱OO1的母线，所以
，

因为
垂直于圆O所在平面，故
，

又BC是底面圆O的直径，

所以
，
，

所以
，由
，所以
． …………………（8分）

（Ⅲ）解：小鱼被捕的概率P等于四棱锥
与圆柱
的体积比，

由
，且由（Ⅰ）知
，

，
，
．

因BC是底面圆O的直径，得
，且
，

，即CA为四棱锥
的高．

设圆柱高为h，底半径为r，则
，
，

，即
． ……………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为
所以
…………………………………（2分）

，故椭圆方程为：
． …………………………………………（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，所以
，假设存在满足题意的直线l，

设l的方程为
，

代入
，得
．

设
，则
，

， …………………………………………（7分）

设AB的中点为M，则
，

，

即
， ……………………………………………………………（10分）

，

∴当
时，
，即存在这样的直线l；

当
时，k不存在，即不存在这样的直线l． …………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当
时，函数
在
上是单调增函数，符合题意；

当
时，
的对称轴方程为
，

由于
在
上是单调增函数，所以
，

解得：
，所以
；

当
时，不符合题意．

综上，a的取值范围是
． …………………………………………………（4分）

（Ⅱ）把方程
整理为
，

即
，

设
，

原方程在区间
内有且只有两个不相等的实数根，

即为函数
在区间
内有且只有两个零点.

，

令
，因为
，
，解得
或
（舍），

当
时，
，函数
是减函数；

当
时，
，函数
是增函数.

在区间
内有且只有两个零点，

只需
即
所以

所以a的取值范围为
． …………………………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】

证明：因为
与圆O相切于，

所以
， ………………………………………………………（5分）

因为D为PA中点，所以DP=DA，

所以
，即
．

因为
，所以
，

所以
． …………………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程是
．

直线l的普通方程是
． ………………………………………（5分）

24．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】

解：（Ⅰ）由题设知：
，

如图2，在同一坐标系中作出函数

和
的图象,知定义域为
．

………………………………………（5分）

（Ⅱ）由题设知，当
时，

恒有
，

即
，又
，

． ……………………………………………………………（10分）