重庆复旦中学2014—2015学年度上期半期考试高2016级数学试题（文科）

　 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。

考试时间：120分钟，满分：150分。请将答案工整地书写在答题卡上

命题人：犹正才 审题人：莫定勇

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．直线x﹣2y+7=0的斜率是（　　）

A．

2

B．

﹣2

C．



D．





　2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　）

A．



B．



C．



D．





　3．垂直于同一平面的两条直线一定（　　）

A．

平行

B．

相交

C．

异面

D．

以上都有可能



　4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）

A．

①②

B．

①③

C．

①④

D．

②④



　5．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（　　）

A．

第一、二、三象限

B．

第一、二、四象限

C．

第一、三、四象限

D．

第二、三、四象限



　

6．若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（　　）

A．

（0，4）

B．

（0，2）

C．

（﹣2，4）

D．

（4，﹣2）



　7．下面四个说法中，正确的个数为（　　）

（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合

（2）两条直线可以确定一个平面

（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l

（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．

A．

1

B．

2

C．

3

D．



　8．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）

A．



B．



C．

k≥2或

D．

k≤2



　9．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（　　）

（1）EP⊥AC；

（2）EP∥BD；

（3）EP∥面SBD；

（4）EP⊥面SAC．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个



　10．点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=
，AC=2，若四面体ABCD的体积的最大值为
，则这个球的表面积为（　　）

A．



B．

8π

C．



D．





　二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.

11．已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是　_________　．

　12．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为　_________　．

　13．直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），则经过A（a1，b1），B（a2， b2）两点的直线方程为　_________　．

　14．已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为　_________　．

　15．如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB?α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是　_________　．

三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（13分）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．

17．（13分）一直线过点P（﹣5，﹣4）且与两坐标轴围成的三角形面积是5，求此直线的方程．

18．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：

（1）直线EF∥面ACD；

（2）平面EFC⊥面BCD．

19．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．

（1）试用x表示圆柱的体积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．

　20．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（
，
），点P在线段CD垂直平分线上，求：

（1）线段CD垂直平分线方程；

（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．

21．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；

（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．

重庆复旦中学2014—2015学年度上期半期考试

高2016级数学试题（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：CAADC, BACBC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.

11．　
　．．

　12．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为　6a2π　．

13．　2x+3y+1=0　．

14．　4　．

15．　
　．

三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（13分）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．

考点：

直线的斜率；确定直线位置的几何要素；直线的截距式方程．菁优网版权所有



专题：

计算题；直线与圆．



分析：

将直线3x﹣2y+24=0，化成斜截式得y=
x+12，可得它的斜率k=
．再对直线3x﹣2y+24=0分别令y=0、x=0，得到直线与x轴、y轴的交点坐标，即可得到直线在x轴、y轴上的截距．



解答：

解：∵直线3x﹣2y+24=0化成斜截式，得y=
x+12

∴直线的斜率k=
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

∵对直线3x﹣2y+24=0令y=0，得x=﹣8

∴直线交x轴于点（﹣8，0），可得直线在x轴上截距是﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

∵对直线3x﹣2y+24=0令x=0，得y=12

∴直线交y轴于点（0，12），可得直线在y轴上的截距为12．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）



点评：

本题给出直线方程的一般式，求直线的斜率并求它在轴上的截距．着重考查了直线方程的化简、斜率的概念和直线在轴上截距的求法等知识，属于基础题．



　

17．（13分）一直线过点P（﹣5，﹣4）且与两坐标轴围成的三角形面积是5，求此直线的方程．

考点：

直线的截距式方程．菁优网版权所有



专题：

计算题．



分析：

设直线方程为
，则
，解得a、b的值，即得此直线的方程．



解答：

解：设直线方程为
，则
，解得
或
．

∴直线方程为 2x﹣5y﹣10=0或8x﹣5y+20=0．



点评：

本题主要考查用截距式求直线方程的方法，属于基础题．



　

18．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：

（1）直线EF∥面ACD；

（2）平面EFC⊥面BCD．

考点：

直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有



专题：

证明题．



分析：

（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF?面ACD，AD?面ACD，满足定理条件；

（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD?面BCD，满足定理所需条件．



解答：

证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．

∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，

∵EF?面ACD，AD?面ACD，∴直线EF∥面ACD；

（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，

∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD

又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，

∵BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD



点评：

本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．



　

19．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．

（1）试用x表示圆柱的体积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．

考点：

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有



专题：

计算题；空间位置关系与距离．



分析：

（1）根据圆锥的底面半径为2、高为6，可得内接圆柱的半径为x时，它的高h=6﹣3x，由此结合圆柱体积公式即可列出用x表示圆柱的体积的式子；

（2）由（1）可得圆柱的侧面积S侧=6π（2x﹣x2），结合二次函数的单调性与最值，可得当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．



解答：

解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，

∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x

因此，内接圆柱的高 h=6﹣3x；

∴圆柱的体积V=πx2（6﹣3x） （0＜x＜2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（2）由（1）得，圆柱的侧面积为

S侧=2πx（6﹣3x）=6π（2x﹣x2） （0＜x＜2）

令t=2x﹣x2，当x=1时tmax=1．可得当x=1时，（ S侧）max=6π

∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）



点评：

本题给出特殊圆锥，求它的内接圆锥的侧面积的最大值，着重考查了圆柱的体积、侧面积公式和旋转体的内接外切等知识点，属于基础题．



　20．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（
，
），点P在线段CD垂直平分线上，求：

（1）线段CD垂直平分线方程；

（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．

考点：

两点间的距离公式；二次函数的性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有



专题：

直线与圆．



分析：

（1）由中点坐标公式求出CD的中点坐标，由两点求斜率得到CD所在直线的斜率，得到垂直平分线的斜率，由点斜式得直线方程；

（2）设出P点的坐标，直接由两点间的距离公式列式，利用二次函数求最值，并得到对应的P点的坐标．



解答：

解：（1）由C（4，0），D（
，
），

得线段CD的中点M
，
，

∴线段CD的垂直平分线的斜率为
，

∴线段CD垂直平分线方程为：
，即x﹣2y=0；

（2）设P（2t，t），

则）|PA|2+|PB|2=（2t﹣1）2+（t﹣1）2+（2t﹣2）2+（t﹣2）2=10t2﹣18t+10．

当t=
时，|PA|2+|PB|2取得最小值，即P
．



点评：

本题考查了两点间的距离公式，考查了直线方程的求法，训练了利用二次函数求最值，是中低档题．



　

21．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；

（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．

考点：

直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有



专题：

计算题；证明题．



分析：

（1）先证明AE⊥BC，再证AE⊥BF，由线面垂直的判定定理证明结论．

（2）利用F、G为边长的中点证明FG∥AE，由线面平行的判定定理证明结论．

（3）运用等体积法，先证FG⊥平面BCF，把原来的三棱锥的底换成面BCF，则高就是FG，代入体积公式求三棱锥的体积．



解答：

解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF

∴AE⊥平面BCE．（4分）

（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，

∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）

在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）

（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，

∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）

∵G是AC中点，∴F是CE中点，且
，

∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，
．

∴
，（12分）∴
（14分）



点评：

本题考查线面平行与垂直的证明方法，利用等体积法求三棱锥的体积．