绵阳南山中学高2016届2014年12月月考数学试题

命题人：黄晓玲 审题人：王怀修

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．

1. 某企业共有职工
人，其中高级职称
人，中级职称
人，初级职称
人．现采用分层抽样抽取容量为
的样本，则抽取的各职称的人数分别为(　　)

A．
　 B．
C．
　 D

2．抽查10件产品，设事件：至少有两件次品，则的对立事件为（ ）

（A）至多两件次品 （B）至少两件正品

（C）至多两件正品 （D）至多一件次品

3.若直线
与直线
互相垂直，则实数的值等于(　　)

A．
　　　 B．
C． D．

4．设P是双曲线
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
，
分别是双曲线的左，右焦点，若
，则
(　　)

A．
　　　　B．
C．
D．

5.直线的参数方程为
(为参数)，则直线的倾斜角为(　　)

A．
B．
C．
D．

6.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，一般情况下PM2.5的浓度越大，大气环境质量越差.下边的茎叶图表示的是某市区甲乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数(单位：
)，则下列说法正确的是（ ）

A、这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等

B、这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大

C、这10日内甲、乙监测站读数的极差相等

D、这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等

7．设点是椭圆
上一点，
分别是椭圆的左、右焦点，为
的内心，若
，则该椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.点为抛物线：
上一动点，定点
，则
与到轴的距离之和的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 长为
的线段
的端点
分别在轴，轴上移动，
，则点
的轨迹是(　　)

A．线段　　　　　　　　　 B．圆

C．椭圆 D．双曲线

10．在区间
和
上分别取一个数，记为
，则方程
表示焦点在轴上且离心率小于
的椭圆的概率为(　　)

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共计20分．

11.椭圆
的长轴长为 ．

12．已知圆
的参数方程为
(
为参数)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，则直线
截圆
所得的弦长是________．

13. 执行下图的程序框图,若输入的
，则输出的的值为



14．抛物线
的焦点为，
是抛物线
上的点，若三角形
的外接圆与抛物线
的准线相切，且该圆的面积为
，则的值为_________ ．

15.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设
为两个定点，
为非零常数，
，则动点的轨迹为双曲线；②已知圆
上一定点和一动点，
为坐标原点，若
则动点的轨迹为圆；③
，则双曲线
与
的离心率相同；④已知两定点
和一动点，若
，则点的轨迹关于原点对称.

其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.

三、解答题：本大题共4小题，合计40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．已知圆C经过点
，和直线
相切，且圆心在直线
上．

（1）求圆C的方程；

（2）已知直线
经过原点，并且被圆C截得的弦长为，求直线
的方程．

17．（本题满分12分）
名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）分别求出成绩落在
与
中的学生人数；

（3）从成绩在
的学生中任选人，求此人的成绩都在
中的概率．

18．一动圆与圆
外切，与圆
内切.

(I)求动圆圆心M的轨迹方程．

(II)试探究圆心M的轨迹上是否存在点，使直线
与
的斜率
？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）

19. 已知抛物线
，为抛物线
的焦点，为抛物线
上的动点，过作抛物线准线
的垂线，垂足为
．

（1）若点
与点的连线恰好过点，且
，求抛物线方程；

（2）设点
在轴上，若要使
总为锐角，求的取值范围．

绵阳南山中学高2016届2014年12月月考数学试题参考答案

1-5：BDCCD 6-10：ABACB

11.10 12.
13.23 14.8 15.②③④

【解析】对于①，由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线的一支，所以①不正确；对于②，由
，可知点为弦
的中点，连结
，则有
即
，而
均为定点，所以点的轨迹是以
为直径的圆，所以②正确；对于③，设
的离心率分别为
，则有
，

，所以③正确；对于④，设动点
，则由
可得
，将
代入等式左边可得
，所以动点的轨迹关于原点对称，即④正确；综上可知，真命题的序号是②③④.

考点：1.双曲线的定义；2.动点的轨迹问题；3.双曲线的离心率.

16（1）设圆心的坐标为
，

则
，化简得
，解得
． 2分

，半径
． 4分

圆C的方程为
． 5分

（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为
，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件。 7分

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
，由题得
，解得
，直线l的方程为
． 9分

综上所述：直线l的方程为
或
． 10分

17.

（1）据直方图知组距为
，由
，

解得
． 2分

（2）成绩落在
中的学生人数为
，

成绩落在
中的学生人数为
． 5分

（3）记成绩落在
中的2人为A1，A2，成绩落在
中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50，70）的学生中任选人的基本事件共有
个，

即（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）． 8分

其中人的成绩都在
中的基本事件有
个，即（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．

9分

故所求概率为
． 10分

18解：（1）设动圆圆心为
，半径为．

由题意，得
，
， (1分)

, 由椭圆定义知
在以
为焦点的椭圆上， (3分)

且
，
． (4分)

动圆圆心M的轨迹方程为
． (5分)

(II) 由（I）知动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别为
和

设
是椭圆上的点，由
得
(8分)

即

，这是实轴在轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为点P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点.

即圆心M的轨迹上存在四个点，使直线
与
的斜率
. (10分)

19.由题意知：
，
，
为
的中点，

，且点在抛物线上，代入得

所以抛物线方程为
． 4分

（2）设
，
，

根据题意：
为锐角
且

，

， 所以得
对
都成立 6分

令

对
都成立 7分

（1）若
，即
时，只要使
成立，

整理得：
，且
，

所以
． 8分

（2）若
，即
，只要使
成立，得

所以
9分

由（1）（2）得的取值范围是
且
． 10分