合肥一六八中学2014-2015学年第一学期高二年级期中考试

数学(理科)试卷

命题人：汪克亮 审题人：黄小娟 时长：120分钟 满分：150分

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里。）

1. 下列命题正确的是(　　)

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

答案：D

2. 设
是两个不同的平面，
是一条直线，以下命题正确的是( )

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

答案：C

3. 已知直线
：
平行于直线：
，且
在y轴上的截距为，则
的值分别为(　　)

A．4,3 B．－4,3 C．－4，－3 D．4，－3

答案：C

4. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(　　)

A．28＋6　　　　　　　 B．30＋6

C．56＋12 D．60＋ 12

答案：B

5.经过点P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为

(　　)

A.x＋2y－6＝0 B.2x＋y－6＝0

C.x－2y＋7＝0 D.x－2y－7＝0

答案　B

6. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )

A.
B.
C.
D.

答案：B

7.已知
，
，则

的最小值为( )

A.
B.
C. D.8

答案：A

8．如图，在三棱柱
中，若、分别

为
、
的中点，平面
将三棱柱分成体积

为
、
的两部分，那么
为（ ）

A．3：2 B．7：5

C．8：5 D．9：5

答案：B

9.设
，过定点A的动直线
和过定点B的动直线
交于点
，则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

答案：B

10．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实数根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为(　　)

A.， B.， C.， D.，

答案：D

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将正确答案填在答题卷的相应位置。）

11.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________.

答案　(－∞，－)∪(0，＋∞)

12.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为________________.

答案： 8 cm2

13.已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为________cm2.

答案：2

14.如图所示，在三棱锥D -ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6， AB＋BD＝AC＋CD＝10，则三棱锥D -ABC的体积的最大值是________．

(第14题图)

答案：2

15.在平面直角坐标系中，如果与y都是整数，就称点
为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果
与
都是无理数，则直线
不经过任何整点；

③直线
经过无穷多个整点，当且仅当
经过两个不同的整点；

④如果
与
都是有理数,则直线
经过无穷多个整点；

⑤存在恰经过一个整点的直线.

【答案】①③⑤

三 、解答题(本大题共6题，计75分。请将正确答案写在答题卷的相应位置)

16.(本题12分).已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，

且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH∥BD.

证明：
面
，
面

面

又
面
，面

面
，

17.(本题12分) 在
中，
边上的高所在的直线的方程为
，
的平分线所在直线的方程为
，若点的坐标为
，求点和点
的坐标．

17. 解：解直线
和直线
的交点得
，即的坐标为
，

　　∴??
??，又∵轴为
的平分线，

　　∴?
?，又∵直线
为
边上的高，由垂直得，

??????????
?，设
的坐标为
，则
，

　　 解得?
???，即
的坐标为
．

18.(本题12分)如图，在锥体
中，
是边长为1的菱形，且
，
,

分别是
的中点.

（1） 证明：

（2）求二面角
的余弦值.

解答：（1）证明：取AD的中点G，连结PG、BG.

PA=PD， ADPG.

在ABG中， GAB=
,AG=
，AB=1, AGB=
,即ADGB.

又PGGB=G， AD平面PGB，从而ADPB.

分别是
的中点， EF//PB，从而ADEF.

又DE//GB，ADGB， ADDE,

DEEF=E,
.

（2）由（1）知PGB是所求二面角的平面角.在PGB中， PG2=
,BG=1sin600=
,PB=2.

由余弦定理得cosPGB=
=
,

即所求二面角P-AD-B的余弦值为

19. (本题12分) 已知直线
：
.

(1)求点
关于直线
的对称点
的坐标；

(2)求直线
关于直线
的对称直线
的方程。

(3)已知点
，试在直线
上求一点
使得
的值最小。

19. （1）设点P的对称点为
，则

，解得：
，即点
的坐标为

（2）解方程组
得
，即两直线
与
的交点坐标为

因为直线
与
关于直线
对称，所以直线
必过点

又由（1）可知，点
恰好在直线
上，且其关于直线
的对称点为
，

所以直线
必过点
，这样由两点式可得：

即

(3)

20. (本题13分)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，

AC，BC，PB的中点.

(1)求证：DE∥平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.

20.解答

(1)证明　因为D，E分别是AP，AC的中点，

所以DE∥PC.

又因为DE?平面BCP，

所以DE∥平面BCP. [3分]

(2)证明　因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，

所以DE∥PC∥FG，

DG∥AB∥EF.

所以四边形DEFG为平行四边形.

又因为PC⊥AB，

所以DE⊥DG.

所以四边形DEFG为矩形. [7分]

(3)解　存在点Q满足条件，理由如下： [8分]

连接DF，EG，设Q为EG的中点，

由(2)知，DF∩EG＝Q，

且QD＝QE＝QF＝QG＝EG.

分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.

与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，

且QM＝QN＝EG，

所以Q为满足条件的点.[13分]

21．（本题满分14分）如图，在四棱锥
中,

底面

是
的中点．

（1）证明
；

（2）证明
平面
；

（3）求二面角
的正切值．

21. （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD

∴PA⊥CD

又AC⊥CD，ACPA=A

∴CD⊥平面PAC，又AE平面PAC

∴CD⊥AE ………………（3分））

（2）证明：

∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD

∴PA⊥AB

又AD⊥AB，ADPA=A

∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD

∴AB⊥PD

由PA=AB=BC，∠ABC=60o

则△ABC是正三角形

∴AC=AB

∴PA=PC

∵E是PC中点

∴AE⊥PC

由（1）知AE⊥CD，又CDPC=C

∴AE⊥平面PCD

∴AE⊥PD

又AB⊥PD，ABAE=A

∴PD⊥平面ABE ………………（8分）

（3）过E点作EM⊥PD于M点连结AM

由（2）知AE⊥平面PCD

∴AM⊥PD

∠AME是二面角A-PD-C的正切值

设AC=a

在Rt⊿AEM中

………………14分