绥化市三校2014-2015学年度高二上学期期末联考

数学理科试题

试卷说明：

1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。

2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．复数z＝的共轭复数是(　　)

A．－1＋i B．－1－i C．2＋i D．2－i

2．已知命题p：?x0∈C，x＋1<0，则 (　　)　　　　　　

A．?p：?x∈C，x2＋1≤0 B．?p：?x∈C，x2＋1<0

C．?p：?x∈C，x2＋1≥0 D．?p：?x∈C，x2＋1>0

3．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为 (　　)

A．7 B．15 C．25 D．35

4．已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为(　　)

A． B． C． D．

5．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　)

A．m> B．m≥1 C．m>1 D．m>2

6．下列命题中，假命题是(　　)

A．若命题p和q满足p∨q为真，p∧q为假，，则命题p与q必一真一假

B．互为逆否命题的两个命题真假相同

C．“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件

D．若f(x) =2x，则f ′(x)＝x·2x－1

7．阅读右面的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是(　　)

A．5 049 B．5 050 C．5 051 D．5 052

8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值，当x＝3时，v3的值为(　　)

A．789 B．262 C．86 D．27

9．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：＋＝1，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在A点处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程可能是(　　)

A．2(4－) B．2(4＋) C．16 D．以上均有可能

10．函数y＝x3－3x＋k有三个不同的零点，则k的取值范围是(　　)

A． (2，＋∞) B．(－2，2) C．(－∞，－,2) D．[－2，2]

11．设f (x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是(　　)

A．(－∞，－3)∪(0,3) B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D． (－3,0)∪(3，＋∞)

12．已知函数
若对任意
，
恒成立，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）

二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）

13、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件
为出现奇数点，事件
为出现2点，已知
，则出现奇数点或2点的概率为________．

14、方程
，若
，则方程没有实根的概率为

15、已知
，则
的概率是

16、已知圆
与圆
，在下列说法中：

①对于任意的
，圆
与圆
始终有四条公切线；

②对于任意的
，圆
与圆
始终相切；

③
分别为圆
与圆
上的动点，则
的最大值为4．

④直线
与圆
一定相交于两个不同的点；其中正确命题的序号为_________________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17（本小题满分10分)

数列{an}满足
(n∈N*)，且
，

(I)计算a2、a3、a4，并推测an的表达式；

(II) 请用数学归纳法证明你在(I)中的猜想。

18（本小题满分12分）

某校为了了解学生的数学学习情况，以5%的比例随机抽取20位学生,根据他们的期中考试数学成绩作出频率分布直方图如右图所示,其中成绩分组区间是：
、
、
、
、
，

(I) 求图中
的值，并根据频率分布直方图估计该校成绩落在[50,60)中的学生人数；

(II) 从样本中成绩在[50,70)的学生中人任选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率。

19（本小题满分12分）

已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，

(I)求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；

(II)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程。

20（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx，其中a、b是实数，

(I)已知a∈{0,1,2}，b∈{0,1,2}，求事件A：“f(x)是R上的单调增函数”发生的概率；

(II)若f(x)是R上的奇函数，且b＝－4, 求f(x)的单调区间与极值。

21（本小题满分12分）

已知椭圆E与双曲线
焦点相同，且过点
，

(I) 求椭圆E的方程；

(II) 直线AB和直线CD均过原点且互相垂直，若
四点都在椭圆E上，求四边形ACBD面积S的取值范围。

22（本小题满分12分）

已知函数f(x)=(a＋1)lnx＋x2－x
，

(I)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

(II) 讨论函数
的单调性；

(III) 设
,如果对任意
,均有
，求
的取值范围。

高二数学理科试题答案

选择题： 1-5 BCAAC 6-10 DABDB 11-12 DC

填空题

序号

13

14

15

16



答案













17．解 (I) a2＝
; a3＝
; a4＝
,由此猜想an＝
(n∈N*) …5分

(II)证明：①当n＝1时，a1＝0，结论成立，

②假设n＝k(k≥1,且k∈N*)时结论成立,即ak＝
,当n＝k＋1时,ak＋1＝

∴当n＝k＋1时结论成立，由①②，对于一切的正整数n∈N*，an＝
成立 …………10分

18．解： (I)由题可知组距为10， (2a＋2a＋3a＋6a＋7a)×10＝1，解得a＝0.005 …………3分

该校总人数为400，由图,知落在[50,60)的频率为2a×10＝0.1，由此估计该范围内的人数为40 …6分

(II)记[50,60)范围内的有2人，[60,70)范围内的有3人，从5人选2人共有10种情况，且每种情况等可能出现，

其中2人成绩都在[60,70)范围内的有3种情况，因此所求概率为 ………12分

19．解：(I)由题，抛物线C的方程为y2＝8x，其准线l方程为x＝－2； …………4分

(II)由题，①当直线l的斜率不存在时，y轴符合题意，其方程为x＝0；

②如果直线l的斜率为0，y＝2符合题意；

③如果直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为y＝kx＋2，由
得ky2－8y＋16＝0，

由Δ＝64－64k＝0得k＝1，故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0，

因此，直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0。（用其他方法解答的请酌情给分） …………12分

20．解：(I) 当a∈{0,1,2}，b∈{0,1,2}时，等可能发生的基本事件(a，b)共有9个，

事件A即f ′(x)＝x2－2ax＋b≥0恒成立，即a2≤b,包含5个基本事件,即事件A发生的概率为
; ……6分

(II) f(x)＝x3－4x， f ′(x)＝x2－4，由f ′(x)＝0可知x＝±2，列表如下：

x

(－∞，－2)

－2

(－2,2)

2

(2，＋∞)



f ′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增



所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，单调递减区间是(－2,2)，

f(x)在x＝－2处取得极大值
；f(x)在x＝2处取得极小值
。 …………12分

21．(I)由题可设椭圆E：
(a>b>0)，其中
，解得
，

即椭圆E的方程为
； …………4分

(II)由题，分两类讨论：①若
为椭圆E的顶点，则S=
， …………6分

②

,同理,
，

S=

，S
，

由①②，四边形ACBD面积S的取值范围是
（用其他方法解答的请酌情给分） ……12分

22．解：(I)由题，
时，
，故所求切线方程为3x－y－3＝0； ………4分

(II) f(x)定义域为
， f ′(x)＝
，
，

①
时，f(x)在
上为增函数；

②
时，f(x)增区间为
，减区间为
;

③
时，f(x)增区间为
，减区间为
; …8分

(III) 由(II)，
时， f(x)在
上为增函数，不妨设
，则有
，即
恒成立