一．选择题：（本大题共12小题，每小题5 分，满分60分）

1.某同学进入高二前，高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如图所示,则该同学数学

成绩的平均数是（ ）

A．125 B．126 C．127 D．128

2.样本11、12、13、14、15的方差是（　　）

A．13 B．10 C．2 D．4

3. 设命题p：函数
的最小正周期是
命题q：函数
的图象关于轴对称，

则下列判断正确的是（ ）

A．
为真 B．
为假 C．P为真 D．
为假

4.已知回归直线
过样本点的中心（4，5），且
=1.23，则回归直线的方程是（ ）

A．
＝1.23＋4 B．
＝1.23＋5 C．
＝1.23＋0.08 D．
＝0.08＋1.23

5.“直线
与直线
互相垂直”是“
”的（　）

A．充分不必要条件　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6.下列命题是真命题的是（ ）

A．
使得
B．
使得

C．
恒有
D．
恒有

7.设
，则
的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知焦点在轴上的椭圆离心率
，它的半长轴长等于圆
的半径，

则椭圆的标准方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片

并记下其数字，则二次取出的卡片上数字之和恰为4的有（ ）

A．5种 B．6种 C．7种 D．8种

10.某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为、b，则双曲线
的离心率

的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.若抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线
的一个焦点重合，则该抛物线的标准

方程可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.椭圆：
上的一点关于原点的对称点为，
为它的右焦点，若
，则三角形△
的面积是（ ）

A．
B．10 C．6 D．9

二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）

13.用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知高二年学生有300人，则该校高中生共有 人.

14.命题P：
，
的否定是 .

15.先后抛掷硬币三次，则有且仅有二次正面朝上的概率是 .

16.过椭圆：
（a>b>0）的左顶点且斜率为
的直线交椭圆C于另一点B，是椭圆的右焦点，
轴于点，当
时，椭圆的离心率e的取值范围是 .

三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据进行分组，得到如下频率分布表：

分组

频数

频率



[39.5,39.7)

10





[39.7,39.9)

20





[39.9,40.1)

50





[40. 1,40. 3]

20





　合计

100







（Ⅰ）补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；

（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.9,40.1)的中点值是40.0)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(精确到0.1)．

18.(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

（Ⅰ）求回归直线方程
，其中
=－20，
=
－
；

（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

19.（12分）已知点
，直线L：
，动点到点的距离等于它到直线L的距离；

（Ⅰ）求动点的轨迹
的方程；

（Ⅱ）是否存在过点
的直线，使得直线被轨迹C截得的弦
恰好被点
平分.

若存在，求直线m的方程，若不存在，请说明理由。

20.（12分）已知椭圆的一个顶点为
，焦点在x轴上，若右焦点到直线
的距离为3；

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆相交于不同的两点
、
，且
，求直线斜率
的值.

21.(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别1，2，3，4；

（Ⅰ）从袋中随机取两个球，求取出的球编号之和不大于4的概率；

（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，

该球的编号为，求
的概率.

22.（14分）已知抛物线

；

（Ⅰ）过点
作抛物线
的切线，求切线方程；

（Ⅱ）设
，
是抛物线
上异于原点的两动点，其中
，以，为

直径的圆恰好过抛物线的焦点，延长
，
分别交抛物线
于
，两点，若四边形
的面积为32，求直线
的方程.

南安一中2014～2015学年度上学期期中考高二（上）数学文科试卷

一．选择题：每小题5 分，共60分

5.B解：若两直线垂直，则
解得

9. A解：取出卡片上数字之和为5的有（0，4）、（1，3）、（2，2）、（3，1）、（4，0）共5种

10. A解：由
得
b>2a 若a=1则b=3、4、5、6，若a=2则b=5、6 P=

11. C解：c=3 焦点F(0，-3)或F（0，3） 故抛物线的标准方程
或

12. D 解：∵A
⊥B

∴OA=OB=O
=O
（
为它的左焦点）

∴四边形A
B
为矩形 ∴B
=A

∵ A
+A
=10 ∴
又∵

∴
∴

二．填空题：每小题4分，共16分

13.解：高二抽取45-20-10=15人，由
得 x=900

14.解：?x∈R，x3－x2＋1≤0，

解　(1)频率分布表如上：频率分布直方图如上： ………… （6分）

(2)这批乒乓球直径的平均值约为39.6×0.10＋39.8×0.20＋40.0×0.50＋40.2×0.20＝39.96≈40.00(mm)．…………（12分）

（2）设工厂获得的利润为L（x）元，则

∴当x＝
＝8.25时L(x)最大361.25　　　注：

∴为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为8.25元 …………（12分）

19.解：（1）∵ 点P到点F的距离等于它到直线L的距离

∴点P的轨迹C是以F为焦点、直线L：x=-1为准线的抛物线，其方程是：
（6分）

20.解：（1）设所求的椭圆方程为：
右焦点F(C，0)

∵右焦点F到直线x－y＋
＝０的距离为3，

∴
即C=
∴所求的椭圆方程为：
……（6分）

（2）由
得

设M（
，
）、N（
，
）则
+
=－


=0

∵｜MN｜＝2 ∴
＝２

∴
解得：k＝
………… （12分）

21.解：从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件是：｛1，2｝、｛1，3｝、｛1，4｝、

｛2，3｝、｛2，4｝、｛3，4｝共6种。取出的球编号之和不大于4的事件为：｛1，2｝、｛1，3｝

∴所求的概率是：P＝
…………（6分）

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，

该球的编号为n，其一切可能的结果为：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）；（2，1）、

（2，2）、（2，3）、（2，4）；（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）；（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）共16种，满足m+2>n的有13种，∴所求的概率是：P＝
……（12分）

22. 解：（1）过点P（2，1）的切线方程为y－１＝k（x－２）

由
得

∴　△＝０即
解得k=1

∴ 所求的直线方程是y=x-1 …………（4分）

(2)设直线AC的方程为y=kx+1,

则直线BD的方程为y=－
x+1

由
得

∴
+
=４k，

＝－４ …………（6分）

∴ ｜AC|＝
＝
…………（8分）

同理：｜BD|＝
＝
…………（10分）

∵四边形ABCD的面积为32

∴
｜AC|｜BD|=32 即
解得：k=1或k=-1 ……（13分）

∴ 直线AC的方程是：y=x+1 …………（14分）