益阳市箴言中学2014—2015学年高二12月月考理科数学试题

〖命题范围：选修2—1，2—2〗

时量 120分钟 总分 150分

一、选择题（10×5＝50分）

命题“x∈Z，使x2＋2x＋m<0”的否定是（ ）

A． x∈Z，使x2＋2x＋m≥0 B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m≥0

C． x∈Z，使x2＋2x＋m>0 D． x∈Z，使x2＋2x＋m≥0

复数
（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）

A．－
－
i B．－
＋
i C．
－
i D．
＋
i

用数学归纳法证明不等式
＋
＋···＋
>
(n>1，n∈N*)，在证明n＝k＋1这一步时，需要证明的不等式是（ ）

A．
＋
＋···＋
>

B．
＋
＋···＋
＋
>

C．
＋
＋···＋
＋
>

D．
＋
＋···＋
＋
＋
>

若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆
＝1的右焦点重合，则p的值为（ ）

A．－2 B．2 C．－4 D．4

过椭圆
＋
＝1（a>b>0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

双曲线
＝1的一个焦点到它的渐近线的距离为（ ）

A．1 B．
C．
D．2

已知定点A（2014，2），F是抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上的动点，当|PA|＋|PF|最小时，点P的坐标为（ ）

A．（0，0） B．（1，
） C．（2，2） D．（
，1）

观察
＝2x，
＝4x3，
＝－sinx，由此可得，若定义在R上的函数
满足
＝
，记
为
的导函数，则
＝（ ）

A．
B．－
C．
D．－

如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持向量
在
上的投影为0，则线段AP扫过的区域的面积为（ ）

A．
Ｂ．

Ｃ．
Ｄ．

“若存在一条与函数y＝
的图象有两个不同交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线，使y＝
在x＝
处的切线与此直线平行”，则称这样的函数y＝
为“hold函数”；下列函数：①y＝
；②y＝
(x>0)；③y＝
；④y＝lnx；其中为“hold函数”的是（ ）

A．①②④ B．②③ C．③④ D．①③④

二、填空题（5×5＝25分）

若
＝2，则实数k＝ .

设平面的法向量
＝（1，2，－2），平面
的法向量
＝（－2，－4，k），

若∥
，则k＝ .

设条件p：a>0；条件q：a2＋a≥0，那么p是q的　　　　　　　条件（填“充分不必要，必要不充分，充要”）.

先阅读下面的文字：“求
的值时，采用了如下的方法：令
＝x，则有
＝x，从而解得x＝
(负值已舍去)”；运用类比的方法，计算：
＝ .

将全体正奇数排成一个三角形数阵；接照图中的排列规律，

第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 .

三、解答题（本大题共有6道小题，75分）

（本小题满分12分）已知复数z＝
（x，y∈R，i为虚数单位）的模为
，求
的最大值.

（本小题满分12分）已知p：函数y＝
在（－1，＋∞）上单调递增；q：函数y＝4
＋4(m－2)x＋1大于零恒成立。若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围.

（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点.

（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；（2）求AC与PB所成的角的余弦值.

（本小题满分13分）已知某公司的品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需要另外投入1.9万元，设R(x)（单位：万元）为销售收入，根据市场调查，知R(x)＝
，其中x是年产量（单位：千件）.

（1）写出年利润W关于年产量x的函数解析式；

（2）当年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

（本小题满分13分）已知椭圆
＋
＝1（a>b>0）的右焦点为
，离心率为e.

（1）若e＝
，求椭圆的方程；

（2）设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段
，
的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且

（本小题满分13分） 已知函数
＝
，曲线y＝
在x＝1处的切线与直线x－2y＝0平行.

（1）求a的值；

（2）若
≤b－
恒成立，求实数b的最小值.

理科数学试卷

参考答案

一、选择题：（每小题5分，共50分）

DDDDB ACDCB

二、填空题：（每小题5分，共25分）

11、【1】；12、【4】；13、【充分不必要】；14、【
】；15、【n2－n+5】.

三、解答题：（本大题共75分）

16、（本小题满分12分）

解：由
得：
，由几何意义易得：
的最大值为
.

17、（本小题满分12分）

解：若p为真，则m≥2；若q为真，则1

∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q是“一真一假”，

∴
，或
，解得：m≥3或1

18、（本小题满分12分）

证明：（1）∵AB∥DC，∠DAB＝90°，

∴DC⊥AD，又PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，

∴DC⊥面PAD，又DC面PDC，

∴平面PAD⊥平面PCD；

解：（2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），P（0，0，1），D（1，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），

∴
＝（1，1，0），
＝（0，2，－1），设AC与PB所成的角为
（0<
<90°）

∴cos
＝|cos<
,
>|＝
＝
＝
.

19、（本小题满分13分）

解：（1）W＝
.

（2）当0

比较W（0），W（9），W（10）得W（9）最大；当x>10时，函数是减函数，

∴当年产量为9千件时，该公司所获年利润最大，最大利润为38.6万元.

20、（本小题满分13分）

解：（1）由题意得：
，解得a＝2
，∴
＝3，∴椭圆的方程为
＝1.

（2）由
，得
，设A(
，
)，B(
，
)，∴
＋
＝0，
·
＝
，依题意，OM⊥ON，∴
·
＝0，又M(
，
)，N(
，
)，∴
·
＝
＋
＝0，代入整理得：
＋9＝0，即
＋9＝0，将其整理为：
＝－1－
，∵

∴
≥
，即k∈(－∞，－
]∪[
，＋∞).

21、（本小题满分13分）

解：（1）∵
＝
＝
，由
＝
＝
，

解得a＝1.

（2）∵a＝1，∴
＝
，∴由题得：b≥
（x>0）恒成立，

设
＝
，则
＝
，再设
＝
，则
＝
<0，∴
在(0，＋∞)上递减，又
＝0，∴当x∈(0，1)时，
>0，即
>0，∴
在(0，1)上为增函数；当x∈(1，＋∞)时，
<0，即
<0，∴
在(1，＋∞)上为减函数；∴
＝
＝1，∴只需b≥
＝1，

即b≥1，∴b的最小值
＝1.