考试时间：120分钟 试卷总分：150分

第Ⅰ卷 选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 某研究性学习课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )

A．6 B． 8 C．10 D．12

2．已知是第二象限角，且
，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

3．如右图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 （　　）

A．
B．
C．
D．

4.从某高中随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：

身高 x(cm)

160

165

170

175

180



体重y(kg)

63

66

70

72

74



由表可得回归直线方程
,据此模型预报身高为
的男生的体重大约为(　　)

A．70.09 kg B．70.12 kg C．70.55 kg D．71.05 kg

5．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0的交点位于第二象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A．
B．
C．
D．

6．在△ABC中，2＋·＜0，则△ABC为

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形

7．已知函数
，如果存在实数
，使得对任意的实数，都有
成立，则的最小正值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8．如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD， 则下列结论中不正确的是（ ）

A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD

C．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

9．在区间
上任取一个数，则圆
与

圆
有公共点的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
的斜边
的长为4，设是以
为圆心1为半径的圆上的任意一点，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上。

11、设ABC的内角、、
的对边分别为、
、，

且
, 则
__________．

12．甲、乙两人约定在10点半到12点会面商谈事情，约定先到者应等候另一个人20分钟，即可离去，求两人能会面的概率 （结果用最简分数表示）．

13．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__________．

14.如右图，两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m2的直角梯形菜园（墙足够长），已知修筑篱笆每米的费用为50元，则修筑这个菜园的最少费用为 _____元.

15.已知点P（,
）与点Q（1,0）在直线
的两侧，则下列说法中正确的序号是________．

①
②
时，
有最小值，无最大值

③
且
，
时，
的取值范围为

④存在正实数M，使
恒成立。

三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）在
中，、
、分别为内角、、
的对边，面积
.

（1）求角
的大小；

（2）设函数
，求
的最大值,及取得最大值时角的值.

17．（本小题满分12分）某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如下图所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0．05,此分数段的人数为5人．

(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?

(2) 求平均成绩；

(3) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率。

18.（本小题满分12分）在棱长为2的正方体
中，设是棱
的中点。

（1） 求证：
；

（2） 求证：
平面
；

（3）求三棱锥
的体积.

19．（本小题满分12分）已知等差数列
的公差
它的前项和为
，若
且
成等比数列．

（１）求数列
的通项公式；

（２）设数列
的前项和为
，求证：

20．（本小题满分13分）已知函数
．

（1）若对于区间
内的任意，总有
成立，求实数
的取值范围；

（2）若函数
在区间
内有两个不同的零点
，求：

①实数
的取值范围； ②
的取值范围．

21. （本小题满分14分） 已知圆
：
，直线
.

（1）若直线
与圆
交于不同的两点、，当
=
时，求
的值.

（2）若
，是直线
上的动点，过作圆
的两条切线
、
，切点为
、，探究：直线
是否过定点；

（3）若
、
为圆
：
的两条相互垂直的弦，垂足为
（1，
），求四边形
的面积的最大值.

长阳一中2014-2015学年度第一学期期中考试

数学试卷（理科）参考答案

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

C

D

B

D

C

A

C

B

C





二、填空题：

11.
12.
13.
14.
15. ③④

16、解：（1）由S=
absinC及题设条件得
absinC=
abcosC……… ………1分

即sinC=
cosC, tanC=
,………………………………………………2分

0

（2）

………7分

， ……………………9分

∵ C=
∴
∴
（没讨论，扣1分） …10分

当
，即
时，
有最大值是
………………………… …12分

17、解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为
人．

∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为
,由
,解得
．

∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人．……4分

(2)

∴平均成绩为
分。 ………………8分

(3)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为

……………12分

18、

【证明】连接BD，AE. 因四边形ABCD为正方形，故
，

因
底面ABCD，
面ABCD，故
，又
，

故
平面
，
平面
，故
. ----------- 4分

19、解：（1）由题意得

解得

（2）

20、解：（1）
，

记
，易知
在上
递增，在
上递减，

∴
，∴
即可 …………………………………………（5分）

（2）①ⅰ）
时，方程
化为
，
时，无解；
时，
；

ⅱ）
时，方程
化为
，
，而其中
，故
在区间
内至多有一解
；

综合ⅰ）ⅱ）可知，
，且
时，方程
有一解
，故
；
时，方程
也仅有一解
，令
，得
，所以实数
的取值范围是
； ……………………………………………（9分）

②方程
的两解分别为
，
，

……（13分）

21、（1）∵∠AOB=
，∴点O到l的距离
………2分

∴
=
·


………4分

（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设
.

其方程为：

即

又C、D在圆O：
上

∴
即
………7分

由
得

∴直线CD过定点
………9分