本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1、命题“
”的否命题是（ ）

A.
B.

C.
D.

2．已知点
，则点关于原点对称的点的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

3.若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于 （ ）

A. B.  C.  D.

4、 “p或q是假命题”是“非p为真命题”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

5、在正方体
中，
为的棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）

A．
　B．
C．
D．

6、设双曲线
的左、右焦点分别是
、
，过点
的直线交双曲线右支于不同的两点
、
．若△
为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

7、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.已知命题：关于x的不等式
的解集是R，命题：
，

则是的那么（ ）

A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

9、已知抛物线
的方程为
，过点
和点
的直线与抛物线
没有公共点,则实数的取值范围是 （ ）

A.
B.

C.
D.

10． 给定空间中的直线
及平面(，条件“直线
与平面( 内无数条直线都垂直”是“直线
与平面( 垂直”的（ ）条件

A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要

11、 “
”是“
”的（ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不要条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

12、过抛物线
的焦点作一条斜率不为0的直线交抛物线于、两点，若线段
、
的长分别为、，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分

13．已知向量
，若
∥
，则
______

14、若
，点
在双曲线
上，则点到该双曲线左焦点的距离为 .15. “
”是“
”的　　 　　条件．(填充分非必要条件、 必要非充分条件 、充要条件 、既非充分又非必要条件)

16．抛物线
上两点
、
关于直线
对称，

且
，则等于

三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

17.（本小题满分12分）

如图，正四棱柱
中，
，点在
上且
．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

18.（本小题满分12分）已知椭圆
过点
，且离心率
。

（1）求椭圆方程；

（2）若直线
与椭圆交于不同的两点
、
，且线段
的垂直平分线过定点
，求直线
的方程。

19．（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（Ⅰ）求证：
平面BCD；

（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．

20．（本小题满分12分）已知一动圆M,恒过点F
，且总与直线
相切,

（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的
两点,当
时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

21.（本小题满分12分）如图，已知点H在正方体
的对角线
上，∠HDA=
．

（Ⅰ）求DH与
所成角的大小；

（Ⅱ）求DH与平面
所成角的正弦值．

22．（本小题满分14分）已知椭圆C:
=1(
)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.

(1)求椭圆
的方程；

(2)设直线
与椭圆
交于、两点，坐标原点
到直线
的距离为
，

求△
面积的最大值.

南安一中2014～2015学年度上学期期中考高二数学科参考答案（理科）

（Ⅰ）因为
，
，

故
，
．又
，

所以
平面
． 6分

18.（本小题满分12分）已知椭圆
过点
，且离心率
。

（1）求椭圆方程；

（2）若直线
与椭圆交于不同的两点
、
，且线段
的垂直平分线过定点
，求直线
的方程。

（Ⅱ）设

由
消去并整理得
……5分

∵直线
与椭圆有两个交点，∴
，即
……7分

又
，
中点的坐标为
……8分

∵线段
的垂直平分线过定点

∴
，满足
……11分

所求直线
的方程是
……12分

19.．（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（Ⅰ）求证：
平面BCD；

（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．

解:：⑴．证明：连结OC

………… 1分

，
． ……… 2分

在
中，由已知可得
… 3分

而
，
………………… 4分

即
………………… 5分

∴
平面
． …………………………… 6分

（Ⅱ）方法二。解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

设平面ACD的法向量为
则

，

∴
，

令
得
是平面ACD的一个法向量．……10分

又
∴点E到平面ACD的距离
．…12分

20．（本小题满分12分）已知一动圆M,恒过点F
，且总与直线
相切,

（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的
两点,当
时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

解: (1) 因为动圆M,过点F
且与直线
相切,所以圆心M到F的距离等于到直线
的距离.所以,点M的轨迹是以F为焦点,
为准线的抛物线,且
,
,

所以所求的轨迹方程为
---------4分

(2) 假设存在
在
上，则
，
……6分

所以,直线AB的方程:
,即

即AB的方程为:
,即

即:
，令
,得
， ……11分

所以直线AB过定点(4,0) ……12分 （ 本题设直线
代入，利用韦达定理亦可）。

21（本小题满分12分）如图，已知点H在正方体
的对角线
上，∠HDA=
．

（Ⅰ）求DH与
所成角的大小；

（Ⅱ）求DH与平面
所成角的正弦值．

解：以为原点，射线
为轴的正半轴建立空间直角坐标系
．

不妨设
，另设

则
，
．连结
，
．

设
，由已知
，

由

可得
．解得
， ……3分

所以
．（Ⅰ）因为
，

所以
．即DH与
所成的角为
． ……6分

（Ⅱ）设平面
的法向量为
则

，

∴
，令
得
是平面
的一个法向量．……9分

，设DH与平面
所成的角为

所以
． …………12分

22．（本小题满分14分）已知椭圆C:
=1(
)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
. (1)求椭圆
的方程；

(2)设直线
与椭圆
交于、两点，坐标原点
到直线
的距离为
，求△
面积的最大值.

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
∴
，∴ 所求椭圆方程为
．…3分

（Ⅱ）设
，
．

（1）当
轴时，
．………4分

（2）当
与轴不垂直时，设直线
的方程为
．………5分

由已知
，得
．………6分

把
代入椭圆方程，整理得
，

，
．………8分

．………12分

当且仅当
，即
时等号成立．当
时，
，综上所述
．…13分

当
时，
取得最大值，
面积也取得最大值
．…14分