哈一中2014—2015学年度上学期期中考试高二数学试卷

命题人： 高二备课组 考试时间：120分钟

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷(非选择题)两部分

第I卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.

1. 命题“若
，则
”的逆否命题为（ ）

A．若
，则
B. 若
，则

C. 若
，则
D. 若
，则

2．与曲线
共焦点
，且与曲线
共渐近线的双曲线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知双曲线
的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．函数
在
上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．过抛物线
的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线
上的射影分别M、N，则∠MFN等于（ ）

A．45° B．60° C．90° D．以上都不对

6．有下列四个命题：

①命题“若
，则
，
互
为倒数”的逆命题；

②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；

③命题“若
，则
有实根”的逆否命题；

④命题“若
，则
”的逆否命题
.

其中是真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．方程
与

的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）

8．已知动点
满足
，则点P的轨迹是 ( )

A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆

9．一个圆的圆心为椭圆的右焦点F，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P, 直线PF
（F
为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知点P为抛物线
上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是
，则
的最小值是（ ）

A． 8 B．
C．10 D．

11．若椭圆
与双曲线
有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一

个交点，则
的面积是（ ）

A．4 B．2 C．1 D．

12．已知
是椭圆
长轴的两个端点，
是椭圆上关于
轴对称的两点，直线
的斜率分别为

，若椭圆的离心率为
,则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷(非选择题90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．过椭圆
的焦点F的弦中最短弦长是 .

14．过抛物线
的焦点作直线
,直线
交抛物线于
两点，若线段AB中点的

横坐标为
，则
.

15．设圆过双曲线
的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双

曲线中心的距离为 .

16．设点
是椭圆
与圆
的一个交点，
分别

是椭圆的左、右焦点，且
，则椭圆的离心率为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤

17． （本题满分10分）

已知半径为
的圆的圆心M在
轴上，
圆心M的横坐标是整数，且圆M与直线
相切．

求：（Ⅰ）求圆M的方程；

（Ⅱ）设直线
与圆M相交于
两点，求实数
的取值范围.

18. （本题满分12分）

在平面直角坐标系
中，直线
与抛物线
相交于不同的两点
.

（Ⅰ）如果直线
过抛物线的焦点，求
的值；

（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到
的距离最小，并求最小值.

19. （本题满分12分）

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在
轴上，若右焦点到直线
的距离为3.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）设椭圆与直线

相交于不同的两点M、N，问是否存在实数
使
;若存在求出
的值；若不存在说明理由。

20. （本题满分12分）

如图,已知四棱锥
中,
是边长为
的正三角形,平面
平面
,四边形

是菱形,
,
是
的中点,
是
的中点.

（Ⅰ）求证:
平面
.

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

21.（本题满分12分）

设过点
的直线分别与
轴和
轴交于
两点，点
与点
关于
轴对称，
为坐标原点，若
且
.

（Ⅰ）求点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）过
的直线与轨迹
交于
两点，求
的取值范围.

22．（本题满分12分）

如图，椭圆
的一个 焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线
交椭圆于A、B两点，若直线
绕点F任意转动，恒有
, 求
的取值范围.

哈一中2014—2015学年度上学期期中考试

高二数学参考答案

选择题：

1.D 2. A 3.D 4.D 5.C 6.B

7.A 8.B 9.D 10.B 11.C 12.A

二、填空题：

13.
14. 24 15.
16.

三、解答题

18．解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）

设
消去x得

则
，

=

（Ⅱ）
，

19．（1）依题意可设椭圆方程为
，则右焦点F（
）由题设

解得
故所求椭圆的方程为
.

（2）设P为弦MN的中点，由
得

由于直线与椭圆有两个交点，
即

从而

又
，则

即
所以不存在实数
使

20.（理科）证明(1)取
的中点
,连接
.

由题意知
且
,
且

,所以
且
,即

四边形
是平行四边形,
所以
,

又
平面
,
平面

所以
平面
.

(2)以
为坐标原点,
为

轴,
为
轴,
为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
,则

,平面
的法向量
,设
是平面
的法向量,

由
,令
,

得

又二面角
的平面角是锐角,

所以二面角
的平面角的余弦值是

20. （文科）(1)
,
为中点
,

又

,底面
为菱形,
为中点

所以
平面

(2)连接
,作
于
.

,
为
的中点

又
平面
平面ABCD,

又
,
.于是
,

又
,
,

V

21. 解：（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于
y轴对称，
∴Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），∵O为坐标原点，∴
=（x，y-b），
=（a-x，-y），
=（-x，y），
，∵
且
，∴
，解得点P的轨迹M的方程为
．（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，联立
，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
，
=（x1-2，y1），
=（x2-2，y2），∴
=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）（x1-2）（x2-2）=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]=（1+k2）（
-
+4
）=
=
+
，∴当k2→∞
的最小值→
；当k=0时，
的最大值为1．∴
的取值范围是（
，1]．??

22．解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，

所以
, 即1＝

因此，椭圆方程为

(Ⅱ)设

(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为：

整理得

所以

因为恒有
，所以
AOB恒为钝角.

即
恒成立.

又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m
R恒成立，

即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对m
R恒成立.

当m
R时，a2b2m2最小值为0，所
以a2- a2b2+b2<0.

a2