说明：

1.考试时间120分钟，满分150分。2.将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

试卷Ⅰ（共 60 分）

一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。请把答案涂在答题卡上）

.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是
,则 （　　）

A．
B．
C．
D．



.命题“对任意
,都有
”的否定为 （　　）

A．对任意
,都有
B．不存在
,都有

C．存在
,使得
D．存在
,使得

3.在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88, 88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是

(　 　)

A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差

4.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为 [20,40),[40,60), [60,80）,[80,100），若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是 ( )

A．
B．
C．
D．

5.某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （　　）

A．这种抽样方法是一种分层抽样

B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

6.把389化为四进制数的末位是 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.0

7 ．在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 （　　）

A．
B．
C．
D．

8.已知为椭圆
上的一个点,
,
分别为圆
和圆
上的点，则
的最小值为 ( 　)

A．5 B．7 C．13 D．15

9.已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为
, 则p =

（　 ）

A．1 B．
C．2 D．3

10.
是“函数
在区间
内单调递增”的 （　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

11.已知椭圆
的左焦点为,
与过原点的直线相交于
两点,连接
. 若
，则
的离心率为 （ ）　

A.
B.
C.
D.

12.已知直线
与抛物线
相交于
两点，为
的焦点，若
，则
（ ）

A．
B.
C.
D.

试卷Ⅱ（共 90 分）

二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）

13. 盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示).

14．设
是双曲线
的两个焦点,是
上一点,若
且
的最小内角为
,则
的离心率为___.

15．已知直线
,椭圆
.在以椭圆C的焦点为焦点并与直线
有公共点的所有椭圆中,长轴最短的椭圆标准方程为 .

16. 已知实数∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的不小于55的概率为________．

三、解答题（本题共6个小题 共计70分。请把解答过程写在答题纸上）

17．（本题满分10分）

若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品，计算这50件不合格品的直径长与标准值的差 (单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：

分组

频数

频率



[－3，－2)



0.10



[－2，－1)

8





(1,2]



0.50



(2,3]

10





(3,4]







合计

50

1.00





(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置上；

(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；

(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数．

18．（本题满分12分）

设p：实数满足

q：实数满足

且非p是非q的必要不充分条件，求实数的取值范围．

19．（本题满分12分）如图1,在等腰直角三角形
中,
,
,
分别是
上的点,
,
为
的中点.将
沿
折起,得到如图2所示的四棱锥
,其中
.

(Ⅰ) 证明:
平面
; (Ⅱ) 求二面角
的平面角的余弦值.



20．（本题满分12分）已知椭圆
的两个焦点分别为
、
,短轴的两个端点分别为

(1)若
为等边三角形,求椭圆
的方程;

(2)若椭圆
的短轴长为,过点
的直线
与椭圆
相交于
两点,且
,求直线
的方程.

21．（本题满分12分）如图,椭圆
:
,
为常数),动圆
,
.点
分别为
的左,右顶点,
与
相交于A,B,C,D四点.

(Ⅰ)求直线
与直线
交点M的轨迹方程;

(Ⅱ)设动圆
与
相交于
四点,其中
,
.若矩形
与矩形
的面积相等, 证明:
为定值.

22．（本题满分12分）如图,点P(0,－1)是椭圆C1：
(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：
的直径，
,
是过点P且互相垂直的两条直线，其中
交圆C2于A，B两点，
交椭圆C1于另一点D．

(1)求椭圆C1的标准方程；

(2)求△ABD面积取最大值时直线
的方程．

2



选择题：ADDBC AABCC BD

填空题:

17. 解：(1)频率分布表

分组

频数

频率



[－3，－2)

5

0.10



[－2，－1)

8

0.16



(1,2]

25

0.50



(2,3]

10

0.20



(3,4]

2

0.04



合计

50

1.00



（每空1分）

(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70；（8分）

(3)设这批产品中的合格品数为x件，依题意有＝，解得x＝－20＝1 980.

所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．（10分）

18.p：
（2分)

q：
（6分）

（12分）

19.(Ⅰ) 在图1中,易得

连结
,在
中,由余弦定理可得
由翻折不变性可知
,

所以
,所以
,

同理可证
, 又
,所以
平面
. （6分）

(Ⅱ) 传统法:过
作
交
的延长线于
,连结
,

因为
平面
,所以
,

所以
为二面角
的平面角.

结合图1可知,
为
中点,故
,从而

所以
,所以二面角
的平面角的余弦值为
.

向量法:以
点为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,

则
,
,

所以
,

设
为平面
的法向量,则

,即
,解得
,令
,得

由(Ⅰ) 知,
为平面
的一个法向量,

所以
,即二面角
的平面角的余弦值为
. （12分）

20.[解](1)设椭圆
的方程为
.

根据题意知
, 解得
,

故椭圆
的方程为
. （4分）

(2)容易求得椭圆
的方程为
.

当直线
的斜率不存在时,其方程为
,不符合题意;

当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
.

由
得
.

设
,则

因为
,所以
,即

, 解得
,即
.

故直线
的方程为
或
.（12分）

21.（1）解：设
，又知
，则

直线
的方程为
（1）

直线
的方程为
（2）

由（1）,(2)得
， （3）

（2）证明：设
由矩形
与矩形
的面积相等，得

，故

因为点
均在椭圆上，所以

由
，知
，所以
.从而
，因此

为定值. （12分）

22. 解：(1)由题意得

所以椭圆C的方程为
＋y2＝1. （4分）

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．

由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，

则直线l1的方程为y＝kx－1.

又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离
，

所以
.

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.

由
消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故
.

所以|PD|＝
.

设△ABD的面积为S，则S＝
|AB|·|PD|＝
，所以S＝

≤
，

当且仅当
时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝
－1. （12分）