试题范围：立体解析为主，兼顾三角数列

本试卷分第Ⅰ卷（1页，选择题）和第Ⅱ卷（2页，非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用2B铅笔涂写在答题纸、卡上．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3．考试结束后，监考人员将答题纸、卡一并收回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）在空间直角坐标系中，A(－1，2，3)，B(－2，－3，5)，则||

（A） （B）（C）30 （D）

（2）已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为（A）0 （B）－8（C）2 （D）10

（3）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是

（A）若m∥α，n∥α，则m∥n （B）若m⊥α，n(α，则m⊥n（C）若m⊥α，m⊥n，则m∥α （D）m∥α，m⊥n，则n⊥α

（4）直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为

（A）1 （B）2（C）4 （D）4

（5）底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个圆心角为直角的扇形，则该圆锥的体积为

（A）( （B）(（C）( （D）(

（6）已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，过点P(－2，5)的一条直线与圆C切于点Q，则|PQ|＝

（A）2 （B）2（C）4 （D）2

（7）设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则平面B1AC被正方体内切球截得图形的面积

（A） （B）

（C） （D）

（8）已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是

（A）相切 （B）相交

（C）相离 （D）不确定

（9）已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是

（A）[，6] （B）(－∞， ]∪[6，＋∞) （C）(－∞，3]∪[6，＋∞) （D）[3，6]

（10）一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是

（11）如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于P，已知△A(ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是

（A）动点A(在平面ABC上的射影在线段AF上（B）恒有平面A(PF⊥平面BCED（C）三棱锥A(－FED的体积有最大值（D）异面直线A(E与BD不可能互相垂直

（12）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线y－3＝mx－m 交于点P，则|PA|＋|PB|的取值范围是

（A）[，2] （B）[，2]

（C）[，4] （D）[2，4]

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD，BC所成的角是_____________．

（14）若方程x2＋y2－2ax－2y＋3－a＝0表示圆心在第二象限的圆，则a的取值范围是________．

（15）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为___________．

（16）过直线y＝x上的一点作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1、l2，当直线l1、l2关于y＝x对称时，l1、l2所成的角为_______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）

已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝．

（Ⅰ）求A的值；

（Ⅱ）若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．

（18）（本小题满分12分）

已知圆C的圆心C在直线2x－y－7＝0上，且与y轴交于点M(0，－4)和N(0，－2)．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若直线x＋2y＋m＝0与圆C交于A、B两点，以CA、CB为邻边作平行四边形ACBD，且点D也在圆C上，求实数m的值

（19）（本小题满分12分）

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P∈B1D1，且∠PDA＝60(．

（Ⅰ）求DP与CC1所成角的大小；

（Ⅱ）求DP与平面AA1D1D所成角的大小．

（20）（本小题满分12分）

已知Sn等比数列{an}的前n项和．

（Ⅰ）若S3＝3a1，求{an}的公比q；

（Ⅱ）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．

（21）（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．

（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的大小为30(，求AB的长．

（22）（本小题满分12分）

已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动弦AB的中点为M，O为坐标原点．

（Ⅰ）求M的轨迹方程；

（Ⅱ）当|OP|＝|OM|时，求弦AB所在的直线方程．

期中考试参考答案

（1－5）DBBCC （6－10）AABAC （11－12）DB

（13）60( （14）(－∞，－2) （15） （16）60°

（17）解：（Ⅰ）f()＝Asin(＋)＝Asin＝A，由f()＝，得A＝3．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)＝3sin(x＋)，f(θ)－f(－θ)＝3sin(＋θ)－3sin(－θ)＝6cossinθ＝3sinθ，由f(θ)－f(－θ)＝，得sinθ＝．

因为θ∈(0，)，所以cosθ＝＝．故f(－θ)＝3sin(－θ)＝3cosθ＝．

（18）解：（Ⅰ）由题意，可知圆心C在直线y＝－3上， …2分

又圆心C在直线2x－y－7＝0上，

由得C(2，－3)，半径r＝|CM|＝，

所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5． …6分

（Ⅱ）由题意，可知平行四边形ACBD为菱形，且有|CA|＝|CD|＝|AD|，

所以∠ACD＝60(，∠ACB＝2∠ACD＝120(，故在等腰△ACB中，∠CAB＝30(，

圆心C到直线AB：x＋2y＋m＝0的距离为， …9分

即＝，解得m＝或m＝． …12分

（19）解： 如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D—xyz．

则＝(1，0，0)，＝(0，0，1)． 设＝(m，m，1)（0＜m＜1），由已知(，(＝60(，可得2m＝．解得m＝，所以＝(，，1)．

（Ⅰ）因为cos(，(＝＝，

所以(，(＝45(．即DP与CC1所成的角为45(．

（Ⅱ）平面AA1D1D的一个法向量是＝(0，1，0)．

因为cos(，(＝＝，所以(，(＝60(．可得DP与平面AA1D1D所成的角为30(．

（20）解： （Ⅰ）S3＝a1(1＋q＋q2)＝3a1，∵a1≠0，∴q2＋q－2＝0， 解得q＝1或－2．

（Ⅱ）S3＋S6＝2S9，显然当q＝1时，S3＋S6≠2S9，∴q≠1．

利用公式Sn＝，得 ＋＝2·，化简得a3＋a6＝2a9，

即q(a2＋a5)＝2a8·q，而q≠0，∴a2＋a5＝2 a8， 即a2，a8，a5成等差数列．

（21）解：（Ⅰ）以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）．设AB＝a，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(，1，0)，B1(a，0，1)，＝(0，1，1)，＝(－，1，－1)，＝(a，0，1)，＝(，1，0)．

∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1．

（Ⅱ）假设在棱AA1存在一点P(0，0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得

取x＝1，得平面B1AE的法向量n＝(1，－，－a)．

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝．

又DP(平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝．

（Ⅲ）连结A1D，B1C，由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D．

∵AD1⊥平面DCB1A1，∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0，1，1)．

设与n所成的角为θ，则cosθ＝＝．

∵二面角A-B1E-A1的大小为30(，∴|cosθ|＝cos30(，即＝，

解得a＝2，即AB的长为2．