一、选择题(每小题4分，共12小题 48分)



1．如果命题“
”为假命题，则（ ）

A．
均为假
命题 B．
中至少有一个真命题

C．
均为真命题 D．
中只有一个真命
题

2．经过点
且与直线
垂直的直线方程为 ( )

A．
B．

C．
D．

3. “a=3”是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a－1）y=a－7平行且不重合的（ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

4．经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为
，则y＝(　　)

A.－1 B.－3 C.0 D.2

5．圆
和
的位置关系为（ ）

A．外切 B．内切 C．外离 D．内含

6. 直线
被圆
所截得的弦长为(??? )

A.
B.1 C.
D.

7. 把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的（ ）

A. 2倍 B.
倍 C.
倍 D.
倍

8．边长为
的正方形
沿对角线

折成
的二面角，则
的长为（ ）

A.
B.
C.

D.

9．若
是两条异面直线，
是两个不同平面,
，
，
，则( )

A．
与
分别相交 B．

与
都不相交

C．
至多与
中一条相交 D．
至少与
中的一条相交

10.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　)[来源:学科网ZXXK]

A.  B.  C.  D. 

11．已知
，
是不重合的两条直线，
，
是不重合的两个平面．下列命题：①若
⊥
，
⊥
，则
∥
； ②若
⊥
，
⊥
，则
∥
；③若
∥
，
⊥
，则
⊥
；④若
∥
，
，则
∥
．其中所有真命题的序号是( )

A.② B.④ C. ②④ D.①②

12．如图所示，正方体
的棱长为a，M、N分别为
和AC上的点，
，则MN与平面
的位置关系是( )

A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定

二．填空题(每小题4分，共6小题24分)

13．直线
的倾斜角为 ．

14．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 .

15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是____________

16.命题“?x∈R，x2＋1≥1”的否定是________________________________

17．正方体的全面积是
，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_________
.

18．已知x，y满足x2＋y2＝1，则
的最小值为___
_____．

三、解答题（每小题12分，共4小题48分）

19．如图，在三棱柱
中，
平面
，
．以
，
为邻边作
平行四边形
，连接
和
．

（1）求证：

平面
；（2）求证：
平面
．

21．如图，已知一四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是侧棱PC上的动点

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）证明：BD⊥AE。

（3）求二面角P-BD-C的正切值。

22. 如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．

（Ⅰ
）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；

（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦．



17.
18 .

三、解答题

19.

答案：（1）连接
，

三棱柱
中
且
，

由
为平行四边形得
且

且

四边形
为平行四边形，

平
，
平

平面

（2） ∵平行四边形
中，
，

∴

∵
平面
，
平面

∴

又∵
，
平面
，
平面
，

∴
平面
.

考点：1.线面平行的证明；2.线面垂直.

20.

答案：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，

∴直线CD的方程为y－2＝－(x
－1)，即x＋y－3＝0.

(2)设圆心P(a，b)，

则由P在CD上得a＋b－3＝0.①

又直径|CD|＝4
，

∴|PA|＝2
.

∴(a＋1)2＋b2＝40.②

由①②解得
或

∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．

∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

21. （1）该四棱锥P－ABCD的底面是边长为
1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.

∴

(2)连结AC，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且
平面
　∴BD⊥PC

又∵
∴BD⊥平面PAC　

∵不论点E在何位置，都有AE
平面PAC

∴BD⊥AE

（3）设
相交于
，连
,由四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD知，
是二面角P-BD-C的的一个平面角，
,即二面角P-BD-C的正切值为
.

考点：垂直关系，几何体的体积，二面角的计算.

22. （1）由已知PA⊥AD，AB⊥AD，所以

为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角．

由已知平面PAD⊥平面ABCD得，PA⊥AB，又AB
平面ABCD，AD
平面ABCD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD．

（2）连接AF，因为PA⊥平面ABCD，则AF是EF在平面ABCD上的射影，即

=α．设PA=AD=a，FD=
，则
．在
中，
，所以所求的角的正切值为
．

（3）取BC的中点M，连接EM、FM，则FM∥BD，∴∠EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的
角．

可求得
，同理，
，又
，

∴在△MFE中，
，

故异面直线EF与BD所成角β的余弦值为
．