2014—2015（上）金堂中学高2016届10月月考试题数学

命题人：邱远芳 审题人：喻永向

(时间：120分钟 总分：150分)

注意事项：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号、考籍号填写在答题卡和试卷规定的位置上。

3．选择题务必用2B铅笔将答案按要求填涂在答题卡上，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。

4．非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能超出范围；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知集合
，
，则
（ ）.

A．
B．

C．
D．

2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中异面直线AB1和CC1所成角的大小是（ ）

A. 30 B. 450 C. 600 D. 900

3.如果log0.5x

y

4．下列说法正确的是（ ）

A两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

B两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

C两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行。

D一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

5.
（ ）

平行 B.垂直 C.平行或在平面内 D.在平面内

6．已知
是两条不同直线，
是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）．

A．
B．

C．
D．
．

已知正方体的棱长为
,则其外接球的表面积为（　　）

A．
B．
C．
D．

8.已知相交直线a和b所成的角为80°，P为交点，则过点P且与a、b所成角都是

50°的直线有且仅有 （ ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

9.已知
,
,
,则( )

A.
三点共线 B.
三点共线 C.
三点共线 D.
三点共线

10．在计算机的算法语言中有一种函数
叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数．例如：
．设函数
，则函数
的值域为 （ ）

A.
B.
C.
D.

2014—2015（上）金堂中学高2016届10月月考试题

数学

Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．在等差数列{an}中，a2＋a8＝4，则它的前9项和S9＝________.

12.为
所在平面外一点,过作
于
.若
,则
为
的 ______心;

13

14.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为________．

14题 15题

15.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论成立的是________．

①EF与BB1垂直；②EF与BD垂直；③EF与CD异面；④EF与A1C1异面．

三、解答题（共75分）

16.（本题满分12分）在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E为BD的中点。

求证：

E

17.（本题满分12分）已知向量
，定义函数
．

（1）求
的最小正周期和最大值。

（2）当
时，求x的值．

（本题满分12分）如图,长方体
中,
,点是
的中点. 求：(1)锥
的体积;

(2)
;

(3)求二面角
的正切值.

19.（本题满分12分）

在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝BC，G是BC的中点．

(1)求证：AB∥平面DEG；

(2)求证：平面EGD⊥平面BDF.

20．（本题满分13）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*, 且a2，a5，a14构成等比数列．

(1)证明：a2＝；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.

21.（本题满分14分）已知函数
。利用函数
构造一个数列
，方法如下：对于定义域中给定的
，令
，…

如果取定义域中任一值作为
，都可以用上述方法构造出一个无穷数列
。

（1）求实数a的值；

（2）若
，求
的值；

（3）设
,试问：是否存在n使得
成立，若存在，试确定n及相应的
的值;若不存在，请说明理由。

2014—2015（上）金堂中学高2016 级10 月考试题

数学答案

一，选择题

BBDCC DBCAB

二．填空题

11．18 12.外心 13. 2cm或者5cm

14.　60° 15.　④

三．解答题

16.略

17．解：（１）
--------------------２分

　--------------------４分

--------------------６分

．--------------------８分

当
时（９分），
取最大值
．--------------------１０分

（２）当
时，
，即
，--------------------１１分

解得
，
．-------------------- 12分

18.【答案】(1)解:由长方体性质可得,
面
,所以
是三棱锥
的高,又点是
的中点,
, 所以,
,

三棱锥
的体积

(2)连结
, 因为
是正方形,所以

又
面

面
,

所以

又
所以,
面

面
, 所以,

(3) 因为
面
,
面
,所以

,

由(1)可知,

,

所以,
面
,

面
,
面

,

是二面角
的平面角

直角三角形
中,

二面角
的正切值为

19.证明　(1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC.

又∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD綉BG，

∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG.

∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG.

(2)连接GF，四边形ADFE是矩形，

∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，

∴DF⊥平面BCFE，EG?平面BCFE，∴DF⊥EG.

∵EF綉BG，EF＝BE，

∴四边形BGFE为菱形，

∴BF⊥EG，

又BF∩DF＝F，BF?平面BFD，DF?平面BFD，

∴EG⊥平面BDF.

20．(1)证明　当n＝1时，4a1＝a－5，a＝4a1＋5，

又an>0，∴a2＝.

(2)解　当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，

∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，

即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，

又an>0，∴an＋1＝an＋2，

∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列．

又a2，a5，a14成等比数列．

∴a＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.

由(1)知a1＝1.

又a2－a1＝3－1＝2，

∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．

∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.

(3)证明　由(2)知＝

＝

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋

＝

＝<.

21.（1）解：根据题意可知，
，则
，且方程
无解,

即当
时方程
无解 由于
不是方程
的解

所以对于任意
无解。

则
，且
，故
。

（2）当
时，对于
，有
，

同理得
对一切
都成立，即数列
是一个以2为周期的周期数列。 ——10分

则
， 故

解法二：由上可知，
，则
，从而可得出结果。

（3）由（2）易知：

则
,若
，

则
,又

故当
，
或
，
时