说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．命题“
”的否定是（ ）

A．
B.

C.
D.

2．设
,且
,则 （　　）

A．
B．
C．
D．

3．若数列
的通项公式是
，则
(　　)

A．15 B．12 C．－12 D．－154．已知椭圆过点
和点
，则此椭圆的标准方程是(　　)

A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．以上均不正确

5．有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．其中的真命题有(　　)个。

A．0　　　B．1 C．2 D．3

6．已知椭圆
的离心率e=
，则m的值为 ( )

A.3 B.3或
C.
D．
或

7．已知命题
,命题
的充分不必要条件”，则下列结论正确的是（ ）

A．命题“
”是真命题 B. 命题“（
”是真命题

C. 命题“
”是真命题 D. 命题“
”是假命题

8．设F1、F2分别是椭圆E：
(0

A. B．1 C. D.

9．已知
，且
的最大值是最小值的3倍，则的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知F1、F2是椭圆C：
的两个焦点，P为椭圆C上的一点，如果△PF1F2是直角三角形，这样的点P有（ ）个。

A．8　　 　B．6 C．4 D．2

11．“
”是数列“
为递增数列”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

12．过椭圆
的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若
则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．已知函数
，满足
的的取值范围是 。

14．已知
是直线
被椭圆
所截得的线段的中点，则直线
的方程为 。

15．已知正项等比数列
满足
，若存在两项
使得
，

则
的最小值为 。

16．若是1＋2
与1－2
的等比中项，则
的最大值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知
函数
的图像与轴无交点；
方程
表示椭圆；若
为真命题，试求实数的取值范围。

18．（本小题满分12分）

已知函数
．

（I）当
时，求函数
的定义域；

（II）若关于的不等式
的解集是，求的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知
为等比数列，
；数列
的前n项和
满足

（1） 求
和
的通项公式；（2） 设
=
，求
。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线与椭圆交于
两点,坐标原点到直线的距离为
,求
面积的最大值.

21．（本小题满分12分）

某单位有员工l000名，平均每人每年创造利润l0万元。为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出
名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为
万元
，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高
．

(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围?

(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少?

22．（本小题满分12分）

已知圆
：
，点
，
，点
在圆
上运动，
的垂直平分线交
于点.

(1)求动点的轨迹
的方程；

(2)设
分别是曲线
上的两个不同点，且点
在第一象限，点
在第三象限，若
，
为坐标原点，求直线
的斜率
；

(3)过点
，
且斜率为
的动直线
交曲线
于
两点，在轴上是否存在定点，使以
为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.

期中考试数学试题答案(理科)

选择题

二．填空题

三．解答题

18．解：（I）由题设知：
，

不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：

，或
，或
，

解得函数
的定义域为
； …………（6分）

（II）不等式
即
，

∵
时，恒有
，

不等式
解集是，

∴
，的取值范围是
． …………（12分）

19．解：（1） 设
的公比为,由
,得
所以
……………3分

， ……………6分

（2）

①

②

②-①得：

所以
……………12分

（Ⅱ）设
，
．

（1）当
轴时，
． -----------------------5分

（2）当
与轴不垂直时，设直线
的方程为
．

由已知
，得
． -----------------------6分

把
代入椭圆方程，整理得
，

，
． -----------------------7分

．

当且仅当
，即
时等号成立． ---------------10分

当
时，
， ---------------11分

综上所述
．

当
最大时，
面积取最大值
．--------------12分

21．

22．

(3)直线
方程为
，联立直线和椭圆的方程得:

得
…………8分

由题意知：点
在椭圆内部，所以直线
与椭圆必交与两点，

设
则

假设在轴上存在定点
，满足题设，则

因为以
为直径的圆恒过点,

则
，即:
(*)

因为

则(*)变为

…………11分

由假设得对于任意的
,
恒成立，

即
解得

因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为
.………………12分