2014-2015学年度第一学期八县（市）一中期中联考

高中二年数学（理）科试卷

命题学校： 福清一中 命题教师： 俞 燕 审核教师： 何明兴

考试日期：11 月13日 完卷时间：120 分钟 满分：150 分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1．如果
，则下列结论一定正确的是（　　）

A．
B．
C．
D．

2．在△
中，角、、
所对的边分别为、
、，且满足
, 则角
的大小为（　　）

A．120° B．60° C．150° D．30°

3．若等差数列
的前5项和
，且
，则
=（　　）

A．3 B．7 C．8 D．9

4．在
中，角、、
所对的边分别为、
、，且满足
，
，
=120°,则
的值为（　　）

A．
B．
C．
D．

5．已知等比数列
的前项和
，则实数的值为（　　）

A．-2 B．-1 C．2 D．0.5

6．已知实数
满足约束条件
，则
的最大值为（　　）

A．80　　　　 B．
　　　 C．25　　 D．

7．若
，则
的最大值为（　　）

A．
B．
C．
D．以上都不对

8．
的外接圆半径和
的面积都等于，则
（　　）

A．
B．1 C．
D．

9. 已知等比数列
，
是其前项和，若
，则
的值为（　　）

A．27 B．21 C．18 D．15

10． △
的三个内角、、
满足
，则△
（　　）

A． 一定是锐角三角形

B． 一定是直角三角形

C． 一定是钝角三角形

D． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

11． 若
，则下列不等式：①
；②
；③
；④
中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．已知数列
是递增数列，且满足
，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）

13．关于的不等式
的解集为 。

14．△
中，
，且
，则
边上的中线
的长为 。

15．已知等差数列
的公差为
，关于的不等式
的解集为
，则使数列
的前项和
取得最大值的正整数的值为 。

16．对于一个数列
，把它相连两项
、
的差记为
，得到一个新数列
，这个新数列称为数列
的一阶差数列；数列
的相连两项
、
的差记为
，得到一个新数列
，这个数列称为数列
的二阶差数列。已知数列
的首项为3，它的一阶差数列是首项为3的等差数列，它的二阶差数列是首项为3的常数列，则数列
的通项公式为
。

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题12分）在△
中，角、、
所对的边分别为、
、，
，且满足、
是方程
的两根。

（I） 求角
的大小和边的长度；

（Ⅱ）求△
的面积。

18．（本小题12分）已知函数

（I） 当
时，求关于的不等式
的解集；

（Ⅱ）若对于任意的
，均有不等式
成立，求实数的取值范围。

19．（本小题12分）等差数列
的公差为，且
依次构成等比数列。

（I） 求数列
的通项公式及前项和
；

（Ⅱ）数列
满足
，求数列
的前项和
。

20．（本小题12分）在
中，角、、
所对的边分别为、
、，且满足
。

（I） 求角的大小；

（Ⅱ）若
，求
周长的最大值。

21．（本小题12分）设数列
的前n项和为
，且对于任意的
，都有
。

（I） 求数列
的首项a1与递推关系式：
；

（Ⅱ）先阅读下面定理：“ 若数列
有递推关系
，其中
为常数，且
，则数列
是以A为公比的等比数列。”请你在（I）的基础上应用本定理，求数列
的通项公式；

（Ⅲ）求数列
的前n项和
。

22．（本小题14分）某商店预备在一个月内分批购入每张价值为
元的书桌共
张，每批都购入张（是正整数），且每批均需付运费元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入
张，则该月需用去运费和保管费共
元，现在全月只有
元资金可以用于支付运费和保管费。

（I） 求该月需用去的运费和保管费的总费用

（Ⅱ）请问该月应将每批进货的数量控制在什么范围内，资金才够用？写出你的结论，并说明理由；

（Ⅲ）要使得该月用于支付运费和保管费的资金花费最少，每批进货的数量应为多少？

2014---2015学年度第一学期八县（市）一中期中联考

高中 二 年 数学（理）科答案

一、选择题：(每小题5分，共60分)

1-5 D A B B A 6-10 A C D B C 11-12 C D

二、填空题：(每小题4分，共16分)

13.
14.
15. 16.

三、解答题：

17. （本题满分12分）

解：(Ⅰ)依题意得，

∵
，∴
． ………… 3分

∵
是方程
的两个根

∴
， …………6分

由余弦定理得

∴
． ………… 9分

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知
，
，

故三角形面积为
………… 12分

18. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）当a=-1时，不等式

可化为
，即
，解得

故不等式
的解集为（1,3）. ………… 5分

(Ⅱ)（1）当
时，不等式
恒成立； ………… 7分

（2）当
时，要使得不等式
恒成立

只需
即
，解得
，即
………… 11分

综上所述，a的取值范围为
………… 12分

19. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）数列
是公差为2的等差数列，
,
,
成等比数列，

又因为
,

所以由

………… 2分

得

解得
………… 4分

所以
,即

即数列
的通项公式是
…………6分

故数列
的前n项和
…………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
…………9分

…………12分

20. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）依正弦定理
可将
化为

…………2分

又因为在
中，

所以有

∵
，∴
． ………… 5分

（Ⅱ）因为
的周长
，

所以当
最大时，
的周长最大.

解法一：因为
， ……………7分

且

即16
，即
（当且仅当
时等号成立） ……………11分

所以
周长的最大值为12. …………12分

解法二：因为
……………7分

所以

（
）

故当且仅当
时，
取到最大值8 ……………11分

所以
周长的最大值为12. …………12分

21. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）由
知当n=1时，有
，得
…………2分

由
还可得
两式相减得
，即
，这就是要求的递推关系式 ………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论和（Ⅱ）的定理知数列
是以2为公比的等比数列 ……7分

且此等比数列的首项为

故

可知数列
的通项公式为
………9分

（3）解法一：由（Ⅱ）知数列
的前n项和

=（
）+（
）+ ……+（
）+（
）

=6（
）+（-3-3-……-3-3）

=

=
………12分

解法二：依题意可知
，由（Ⅱ）知

故

………12分

22. （本题满分14分）

解：（Ⅰ）设题中比例系数为
，若每批购入张，则共需分
批，每批价值为20元，

由题意

由
时，
得
…………3分

…………5分

（Ⅱ）每批进货的数量x应控制的范围是
，资金才够用。理由如下： …………7分

令
，此不等式化为

解得