一.选择题：(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共60分）.

1.命题

,则
是（　　）

A．
B．

C．
D．

2.已知数列{
}的通项公式是
＝
(
)，则数列的第5项为（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知
=2（x＞0，y＞0），则xy的最小值是（ ）

A.12 B.14 C.15 D.18

4．等差数列
的公差
，且
，则数列
的前n项和
取最大值时
( )

A.6 B.5 C.5或6 D.6或7

5.已知命题

，
；命题

，
，则下列命题中为真命题的是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.不等式
成立的一个充分不必要条件是（　　）

A．
或
B．
或
C．
D．

7．已知变量
满足约束条件
，则
的最大值为( )

A.12 B.11 C.3 D.－１

8．下列命题错误的是 （ ）

A．命题“若p则q”与命题“若
”互为逆否命题

B．命题“
”的否定是“
”

C．“
”是“
或
”的必要不充分条件

D．“若
”的逆命题为真

9.已知等差数列
和
的前n项和分别为
，且
，则使得
为整数的正整数n的个数是( ）

A．2 B．3 C．4 D．5

10.已知函数
若数列
满足

，且
是递增数列，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

11．定义
，已知x、y满足条件

，则z的取值范围是 （ ）

A.[-10, 8] B.[2, 8] C.[-10, 6] D.[-16, 6]

12．若
且
，则
的最小值是（ ）

A.
B.3 C.2 D.

二.填空题：请把答案填在答题卡的横线上（每小题5分，共20分）.

13．等比数列{
}中，
＝9，
＝243，则{
}的前4项和为

14. 若＞0，
＞0，且
则

的最小值为 。

15．若
,使不等式
成立,则的取值范围是______________.

16．已知实数x,y满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|，且
，则z=2x+y的最大值是_____________

三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共70分).

17.（本题10分）解关于的不等式：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

18.(本题12分)设命题p：函数f(x)＝(a－)x是R上的减函数，命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在[0，a]上的值域为[－1,3]，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．

19．（本题12分）在数列
中,
,
.

(Ⅰ)设
.证明:数列
是等差数列;

(Ⅱ)求数列
的前项和
.

21.（本题12分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年维修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．

（Ⅰ）若扣除投资和各种维修费，则从第几年开始获取纯利润？

（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以47万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？

22.（本题12分）在数列
中，
．

（Ⅰ）求数列
的通项；

（Ⅱ）若
对任意
的整数恒成立，求实数
的取值范围；

（III）设数列
，数列
的前项和为
，求证：
．

2014—2015学年度上学期期中考试高二年级数学试卷答案

解得

故原不等式的解集为
————————————5分

(2)

即，

等价变形为：

原不等式的解集为
————————————10分

18. 解:　∵f(x)＝(a－)x是R上的减函数，

∴0

∵f(x)＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域为[－1,3]，

则2≤a≤4. ————————————6分

∵“p且q”为假，“p或q”为真，∴p、q为一真一假．

若p真q假，得

若p假q真，得≤a≤4， ————————————10分

综上可知：a的取值范围是(，2)∪[，4]． ————————————12分

19.解：(Ⅰ)
,
,

,则
为等差数列, ———————————4分

,
,
———————————6分

(Ⅱ)

两式相减,得
. ———12分

（错位相减法中间过程请酌情给分）.

20.解:　(1)当a＝时，A＝，B＝， —————2分

所以
＝. ————————4分

(2)若q是p的必要条件，即p
q，可知AB. —————————5分

因为a2＋2＞a，所以B＝{x|a＜x＜a2＋2}． ——————————————6分

当3a＋1＞2，即a＞时，A＝{x|2＜x＜3a＋1}，

解得＜a≤； ——————————————8分

当3a＋1＝2，即a＝时，A＝?，符合题意；

当3a＋1＜2，即a＜时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}，

解得－≤a＜； ——————————————10分

综上，a∈. ——————————————12分

21.解：（Ⅰ）设第n年获取利润为y万元

n年共收入租金30n万元，付出维修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，

共

因此利润
， ————————————4分

令
解得：

所以从第4年开始获取纯利润． ————————————6分

（Ⅱ）年平均利润

（当且仅当
，即n=9时取等号）

所以9年后共获利润：12
=155（万元） ————————————8分

利润

所以15年后共获利润：144+ 10=154 （万元） ————————————10分

方案①获利多且时间比较短，所以选择方案①． —————————————12分

22.解：（1）将
整理得：
——1分

是以1为首项，以3为公差的等差数列.

所以
，即
———————3分

时，上式也成立，所以，
—————————4分

（2）若
恒成立，即
恒成立 ——————5分

整理得：

令

————7分

因为
，所以上式
，即
为单调递增数列，所以
最小，
，

所以
的取值范围为
————————————————8分