一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知
，其中
是实数，是虚数单位，则复数
的共轭复数对应的点位于为（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.在梯形
中，
，是空间直线，则“
，
”是“
，
” 的（ ）条件

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

4. 已知函数
的导数为
，且满足关系式
，则
的值等于（ ）

A.
B.
C.-7 D.7

5. 双曲线
的离心率为
，一条渐近线的倾斜角为，
，当
取得最小值时，双曲线的焦距为（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 已知实数，满足
，则
的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 将函数
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，则函数
的一个对称中心为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.
是边长为2的等边三角形，是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，如图所示，则
的最大值是（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 马航MH370航班失联事件发生后，多国海军在相关海域展开了搜索救援行动.某日中国将5艘不同的军舰分配到A、B、C三个搜索海域中，每个海域至少安排1艘军舰，其中甲军舰不能分配到A海域，则不同的分配方案种数是（ ）

A.80 B.100 C.132 D.150

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

11.
的展开式中只有第3项的二项式系数

最大，则它的
项的系数是 .

12. 已知程序框图如图，则输出的
.

13. 若等差数列
满足
，

为坐标原点，点
，
，

则
.

14. 定义在上的奇函数
，当
时，

则关于的函数
的所有零点之和为 .（用含的式子表达）

15. 正方体
的棱长为，
是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），为正方体表面上的动点.给出下列命题：

①弦
的长的取值范围是
；②内切球的体积为
；③直线
与
所成角的范围是
；④当
是内切球的一条切线时，
的最大值是
；⑤线段
的最大值是
.其中正确的命题是 （把所有正确命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

16.（本小题满分7分）已知
的三个内角
的对边依次是
，且
.

（Ⅰ）若
，求
的大小；

（Ⅱ）若
，求
的面积.

17.（本小题满分8分）

2013年6月13 日，阿里巴巴推出“余额宝”理财产品，2014年1月22日，腾讯推出的理财产品“微信理财通”（简称“理财通”）正式上线.某人准备将10万元资金投入理财产品，现有“余额宝”， “理财通”两个产品可供选择：

且
的数学期望
；

（2）投资“理财通”产品一年后获得的利润
(万元)的概率分布列如下表所示：

0.65

0.7

0.75







0.6





（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）假设该人在“理财通”正式推出（2014年1月22日）之前已经选择投资了“余额宝”产品，现在，他决定：只有当满足
时，它才会更换选择投资“理财通” 产品，否则还是选择“余额宝”产品，试根据的取值探讨该人应该选择何产品？

18.（本小题满分8分）已知数列
与
满足
，数列
是等比数列，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
是递增数列，设
，求数列
的前项和
.

19.（本小题满分9分）

如图所示，在四棱锥
中，四边形

为菱形，
为正三角形，且
分别为

的中点，
平面
，

平面
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值.

20.（本小题满分9分）

已知函数
.

（Ⅰ）若函数
在点
处的切线方程为
，求实数的值；

（Ⅱ）若直线
与函数
的图象无公共点，求实数的取值范围.

安庆一中2014—2015学年度第一学期高二年级期中考试

数学试卷（理科实验班）（参考答案）

三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

16.解：（Ⅰ）由正弦定理得
，即
，

解得
. ………………2分

（Ⅱ）因为
，

所以
.

所以
.

所以
.

易知
，所以
.所以
.

因为
，

所以
.

所以
的面积为
. ………………………7分

17. 解：（Ⅰ）由概率和为1及期望公式，得

解得
…………………… 3分

（Ⅱ）

，

令
，得
.

解得
.

故当
时，满足
，该人应该选择“ 理财通”产品；

当
时，不满足
，该人应该选择“余额宝”产品.

……………………8分

18.解：（Ⅰ）因为
，所以
.

又数列
是等比数列，所以
.

又已知
，故
是一元二次方程
的两根.

则
或

易知数列
是等差数列，

当
时，
则数列
的公差
.故
；

当
时，
则数列
的公差
.故

.

综上，数列
的通项公式为
或
. ………………4分

（Ⅱ）若数列
是递增数列，由（Ⅰ）得
，
.

所以
.

所以

. …………………………8分

不妨设菱形
的边长为2，则
.

则点
.

. 设平面
的法向量为
.

则由
解得

不妨令
，得
；

又
，

所以
与平面
所成角的正弦值为
.

…………………… 9分

20. 解：（Ⅰ）
，所以
.

因为
，

故函数
在点
的切线方程为
，即
.

又已知切线方程为
，所以
，解得
. …… 3分

（Ⅱ）函数
的定义域是
.

令
，得
，故函数
在
上单调递增；

令
，得
；故函数
在
上单调递减，

故函数
在
处取得最小值.即
.

故函数
的取值范围是
.

若直线
与函数
的图象无公共点，

则
，解得
.

故实数的取值范围是
. ……………………………… 9分

21. 解：（Ⅰ）因为直线
的斜率为
，

所以
. ①

因为
的斜边上的中线长为
，且
是直角三角形，又直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，

所以
.②

由①②，解得
.

故所求椭圆的方程为
. ……………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
.

设点
，则

直线
，令
，得
；

直线
，令
，得
；

解法一:设圆
的圆心为
，

设圆
的半径为，则

.

.

.

又点
在椭圆
上，则
.

所以
.则
.

即
.所以
.

即线段
的长度为定值2. ………………………… 9分