第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数
的定义域为（ ）

A.{x|x＞1} B.{x|x≥1}

C.{x|x＞0} D.{x|x≥1}∪{0}

2.α≠是sinα≠1的(　 　)

A.充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.设命题p：
是
的充要条件；命题q：若
，则
，则(　 　)

A．p∨q为真 B．p∧q为真

C．p真q假 D．p、q均为假

4．对于任意实数，点
与圆
的位置关系的所有可能是（ ）

A.都在圆内 B.都在圆外 C.在圆上、圆外 D.在圆上、圆内、圆外

5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6.则数列的前5项和为(　　)

A.或5 B.或5 C. D.

6. 设有一个直线回归方程为
，则变量增加一个单位时（ 　　）

A．平均增加
个单位 B．平均增加个单位

C．平均减少
个单位 D．平均减少个单位

7.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为(　 　)

A. B. C. D．2

8.点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为(　 　)

A. B. C. D．π

9．已知二面角
的平面角是锐角
，内一点
到
的距离为3，点C到棱
的距离为4，那么
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，

则判断框中应该填的条件是(　　)．

A．
B．

C．
D．

11．设
、
、
是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(
·
)
＝(
·
)
；②|
|－|
|>|
－
|；③(
·
)
－(
·
)
与
垂直；④(3
＋2
)·(3
－2
)＝9|
|2－4|
|2中，是真命题的有(　 　)

A．①② B．②③

C．③④ D．②④

12.对于集合M，N，定义M－N={x|x∈M且x ? N},MN=(M－N)∪(N－M).设M={y|y=
,x∈R},N={y|y=
,x∈R},则MN=( )

A.(－4,0］ B.［－4,0)

C. (－∞,－4)∪(0,+∞) D. (－∞,－4)∪［0,+∞)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为

14.已知直线
与直线
关于轴对称，则直线
的方程为 。

15．不等式组
表示的平面区域的面积是 。

16．
，则
的最小值是

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．

(1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率；

(2)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．

18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如下：

(1)求频数直方图中a的值；

(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；

(3)从成绩在[50,70)的学生中选2人，求这2人的成绩都在[60, 70)中的概率．

19.已知函数
(
)的最小正周期为.(1)求的值;

(2)求函数
在区间
上的取值范围.

20．如图，矩形
中，
，
，为
上的点，且
，
交于点
.

（1）求证：
； （2）求点
到平面
的距离.

21.设
的内角
所对的边分别为
,若

(1)求
的值；（2）设
,求
的值。

事件A由4个基本事件组成，故所求概率P(A)＝
＝
．

答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为
．

(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，

则B＝{(1，3)，(3，1)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)}

事件B由7个基本事件组成，故所求概率P(A)＝
．

答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
．

18.(1)由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1，可列如下等式：(2a＋2a＋3a＋6a＋7a)×10＝1 解得a＝0.005.

(2)由图可知落在[50,60)的频率为2a×10＝0.1

由频数＝总数×频率，从而得到该范围内的人数为20×0.1＝2.

同理落在[60,70)内的人数为20×0.15＝3.

(3)记[50,60)范围内的2人分别记为A1、A2，[60,70)范围内的3人记为B1、B2、B3，从5人选2人共有情况：

A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3,10种情况，其中2人成绩都在[60,70)范围内的有3种情况，因此P＝.

19. 解:(1)

.

因为函数
的最小正周期为,且
,所以
,解得
.

(2)由(1)得
.因为
,

所以
, 所以
,

因此
,即
的取值范围为
.

21.解：（Ⅰ）由
，得

由
及正弦定理得

于是

（Ⅱ）
，即
．

由余弦定理
，得

．

，

所以
．

22.解：（I）由已知
，所以
.

，所以
.

，所以
.

（II）因为
，

所以
.

即
.

所以对于任意的
，
.

（III）
，

所以
. ①

. ②

①-②，得