一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）

1、抛物线
的焦点坐标为（ ）

A.
B.
C.
D.

2、动点到点
及点
的距离之差为，则点的轨迹是（ ）

A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线

3、若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为
，焦距为
，则椭圆的方程为（ ）

A．
B．
C．
或
D．以上都不对

4、平面上动点
满足
，
，
,则一定有（ ）

A．
B．
C.
D．

5、设
，（其中
是两两垂直的单位向量），若
，则实数
的值分别是（ ）

A.
B.
C.
D.

6、在同一坐标系中，方程
与
的曲线大致是（ ）

7、已知直线
与椭圆
恒有公共点，则实数的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

8、
是椭圆
的两个焦点，为椭圆上一点，且∠
，则
的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、如图，
是直三棱柱，
，点
和
分别是
和
的中点，若

，则
与
所成角的余弦值是（ ）

A．
B．

C．
D．

10、已知
，椭圆
的方程为
，双曲线
的方程为
，
与
的离心率之积为
，则
的渐近线方程为(　 　)

A.
B.
C.
D.

11、过抛物线
的焦点且倾斜角为
的直线
与抛物线在第一、四象限分别交于
两点，则
的值等于（ ）

A.
B. C.
D.

12、已知
是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　 　)

A.
B.
C.
D．

二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）

13、已知向量
,
,且
，则的值为

14、已知过点
且与
平行的直线经过抛物线
的焦点，则实数=

15、给出下列命题：

1）空间中点的柱坐标为
，则点的直角坐标为
；

2）若曲线
表示双曲线，则
的取值范围是
；

3）已知
，直线
相交于点
，且它们的斜率之积为
，则点
的轨迹方程为
；

4）已知双曲线方程为
，则过点
可以作一条直线
与双曲线交于
两点，使点是线段
的中点.

其中正确命题的序号是

16、 设直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于点
,若点
满足
，则该双曲线的离心率是________．

三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分10分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是
，且双曲线过点

（1）求双曲线的方程;

（2）求双曲线的焦点到渐近线的距离.

18、(本题满分12分）如图，正方形
所在平面与平面
垂直，
是
和
的交点，且
.

(1)求证：
⊥平面
；

(2)求直线
与平面
所成角的大小.

19、（本小题满分12分）已知直线的参数方程：
，曲线
的参数方程：
（为参数）,且直线交曲线
于
两点.

（1）将曲线
的参数方程化为普通方程，并求
时,线段
的长度,

（2）已知点
，求当直线倾斜角变化时,
的范围.

20、（本小题满分12分）已知动圆过定点
，且在轴上截得弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线

（1）求曲线
方程；

（2）点为直线
：
上任意一点，过作曲线
的切线，切点分别为
，求证：直线
恒过定点，并求出该定点.

21、(本小题满分12分）如图,在四棱锥
中,

平面
平面
,
∥

,已知

(1) 设
是
上的一点,求证:平面
平面
;

(2) 当三角形
为正三角形时，点
在线段
（不含线段端点）上的什么位置时，二面角
的大小为

22、（本小题满分12分）已知
是椭圆
的两焦点，是椭圆在第一象限弧上一点，且满足
过点作倾斜角互补的两条直线
分别交椭圆于
两点，

1）求点坐标;

2）求证:直线
的斜率为定值;

3）求
面积的最大值.

2014-2015学年度上学期期中考试高二学年数学理科试题答案

19、（本小题满分12分）

（1）曲线
的普通方程

当
时

(2) 直线参数方程代入得

21、（本小题满分12分）

（1）因为
，得
，又因为
，所以有
即
又因为平面
平面
，且交线为AD，所以
，

，故平面
平面

（2）由条件可知，三角形PAD为正三角形，所以取AD的中点O，连PO，则PO垂直于AD，

由于平面
平面
，所以PO垂直于平面ABCD，过O点作BD的平行线，交AB于点E,则有
,所以分别以
为
轴，建空间直角坐标系

所以点
，

由于
且
，得到
，

设
（
，则有
，因为由（1）的证明可知
，所以平面PAD的法向量可取：
，设平面MAD的法向量为
，则有
即有

由二面角
成
得

故当M满足：
时符合条件

（3）由（2）可设直线
的方程为
，

联立方程，得
，消去得

由判别式大于0，得

易知点到直线
的距离为

所以

当且仅当
时取等号，满足

所以
面积的最大值为