一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．

1．下列说法中正确的是（ ）

A．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率.

B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，

这样对被剔除者不公平.

C．用秦九韶算法计算多项式
在当
时的值时要用到6次加法和15次乘法.

D．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半.

4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)

A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球

【答案】D

【解析】对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立．

5．某产品的广告费用与销售额的统计数据如表：

广告费用 (万元)

4

2

3

5



销售额 (万元)

49

26

39

54





根据表可得回归方程
中的
为
，据此模型预报广告费用为
万元时销售额为( )

A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元

（2）＋（3）得
，故
，

再由（1）得
。

8．四张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这四张卡片中随机抽取2张，则取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是（　　）

A．
B．

C．
D．

10．已知点
，正方形
内接于圆
，
分别为
中点，当正方形绕圆心
旋转时，
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C．

【解析】设
，则
，

即
又正方形
关于原点对称，

，
，

．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．

11．空间直角坐标系中与点
关于
平面对称的点的坐标为 ．

15．如果自然数的各位数字之和等于
，那么称为“吉祥数”．将

所有“吉祥数”从小到大排成一列
,若
,则

．

【答案】65

【解析】∵方程
使
的整数解个数为
.现取
，可知，位“吉祥数”的个数为
且

对于四位“吉祥数”
，其个数为满足
的非负整数解个数，即
个。∵2005是形如
的数中最小的一个“吉祥数”，
是第
个“吉祥数”，即
从而

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）高二某班
名学生在一次百米测试中，

成绩全部都介于
秒到
秒之间，将测试结果按如下方式

分成五组，第一组
，第二组
…,第五组

，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩在区间
内规定为良好，求该班在这次百

米测试中成绩为良好的人数；

（2）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数

（精确到
）．

17．（本小题满分12分）已知关于的一元二次方程
．

（1）若是从
四个数中任取的一个数，
是从
三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

（2）若是从区间
上任取的一个数，
是从区间
上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

解：（1）
，

总的基本事件有
件，方程有实根包含的基本事件有

方程有实根的概率为

（2）试验的全部结果所构成的区域为
，构成事件的区域为
，所以所求的概率为
＝
＝

18．（本小题满分12分）已知在
的展开式中，第
项的系数与第
项的系数之比是

．

（1）求；

（2）求展开式中的所有有理项；

（3）求
的值．

19．（本小题满分12分）阅读右边的程序框图，解答以下问题:

（1）如果输入的
，那么输出的
为多少？

（2）对于输入的任何正整数
，都有对应
输出．证明：
．

解：（1）
；

；
；
成立，

输出

（2）由题意知
，而
时有

经验证，
也有

20．（本小题满分13分）如图，四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，

，
，侧面
底面
，且
为等腰直角三角形，
，
为
的中点．

（1）求证：
；

（2）求证：
平面
；

（3）求平面
与平面
所成锐二面角的正切值．

解：解法一：（1）取
的中点
，连结
．

，

，且
，

是正三角形，
,又
,
平面
．
．

（2）取
的中点，连结
．
分别为
的中点，
，且
．∵四边形
是直角梯形，
且
，
且
．∴四边形
是平行四边形．
．
平面
，
平面

平面
．

（3）延长
与
交点为，连结
．过
作
于一定
，连结
，则
．
为平面
与平面
所成锐二面角的平面角．设
,则
,
．又因为
,

平面
与平面
所成锐二面角的正切值为
．

解法二：（1）同解法一

（2） ∵侧面
底面
，又
，
底面
．

．∴直线
两两互相垂直，

故以
为原点,直线
所在直线为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系
．

设
，则可求得
，

．
．

21．（本小题满分14分）如图，圆：
．

（1）若圆与轴相切，求圆的方程；

（2）求圆心
的轨迹方程；

（3）已知
，圆
与轴相交于两点
（点
在点的左侧）．过点
任作一条直线与圆：
相交于两点
．问：是否存在实数，使得
？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．

解：（1）由圆与轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等.故先将圆的方程化成标准方程为：
，由
求得
.即可得到所求圆的方程为：
；

（2）求圆心
点坐标为
，则
圆心
点的轨迹方程为