湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高二期中考试

数学试卷（文科）

命题人：武汉中学 戚国勇 审题人： 武汉四中 彭朝军

考试时间：11月14日 14:00-16:00 本卷满分150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．

1．直线
的倾斜角是 ( )

A．120o B．135o C．150o D．30o

2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1

C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3

3. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取得2个球，那么互斥而不对立的两

个事件是（ ）

A．至少有1个黑球与都是黑球 B．至少有1个红球与都是黑球

C．至少有1个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球

4．对某同学的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所

示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：

①中位数为83； ②众数为83；

③平均数为85； ④极差为12.

其中，正确说法的序号是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④

5．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，
＝3.5，则

由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）

A．＝－2x＋9.5 B．＝2x－2.4

C．＝－0.3x－4.4 D．＝0.4x＋2.3

6. 某三棱锥的三视图如下左图所示，该三棱锥的表面积是 (　　)

A．30＋6 B．28＋6

C．56＋12 D．60＋12

7. 若某程序框图如下右图所示，则输出的p的值是（ ）

A．21 B．28

C．30 D．55

8．设A、B、C、D是球面上的四点，AB、AC、AD两两互相垂直，且
，

，
，则球的表面积为(　　)

A.
B.
C.
D.

9．过点（1，2）总可以作两条直线与圆
相切，则
的取值范围是(　　)

A．
或
B．
或

C．
或
D．
或

10．设点是函数
图象上的任意一点，点



，则
的最小值为(　　)

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．

11．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为23，则第10组抽出的号码应是 .

12. 若数据组
的平均数为4，方差为2，则
的平均数为
，方差为
．

13. 若直线x+my+6=0与直线(m－2)x+3y+2m=0平行，则m的值为________.

14. 设不等式组
表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，此点到坐标原点的距离不小于2的概率是________.

15. 用更相减损术或辗转相除法求459和357的最大公约数为__________.

16．已知P是直线
上的动点，PA，PB是圆
的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是___________.

17．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是________．(把你认为正确的结论都填上)

①BD∥平面CB1D1；

②AC1⊥平面CB1D1；

③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；

④二面角C—B1D1－C1的正切值是；

⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．

三、解答题：本大题共5个小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）

已知向量
，
，其中随机选自集合
，随机选自集合
，

（Ⅰ）求
的概率； （Ⅱ）求
的概率．

19．（本小题满分13分）

某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：

组号

第一组

第二组

第三组

第四组

第五组



分组

[50，60)

[60，70)

[70，80)

[80，90)

[90，100]



（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；

（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？

20．（本小题满分13分）已知
是边长为1的正方体，求：

（Ⅰ）直线
与平面
所成角的正切值；

（Ⅱ）二面角
的大小．

21．（本小题满分13分）

已知曲线C：
，O为坐标原点

（Ⅰ）当m为何值时，曲线C表示圆；

（Ⅱ）若曲线C与直线
交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．

22．（本小题满分14分）已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2
，D是AB的中点．

（Ⅰ）求动点D的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，

① 当|PQ|＝3时，求直线l的方程；

② 试问在x轴上是否存在点E(m,0)，使
·
恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高二期中考试

文科数学参考答案

一、选择题(每小题5分,共50分)

二、填空题(每小题5分,共35分)

①②④

三、解答题（共65分）

18．解：则基本事件空间包含的基本事件有：(-1，-2)，(-1，2)，(-1，6)，

(1，-2)，(1，2)，(1，6)，(3，-2)，(3，2)，(3，6)，共9种．…………………4分

（Ⅰ）设“
”事件为，则
．

事件包含的基本事件有(-1，2)，(1，-2) 共2种．

∴
的概率为
． …………………8分

（Ⅱ）设“
” 事件为，则
．

事件包含的基本事件有(-1，-2), (1，2)，(3，6)共3种．

∴
的概率为
． …………………12分

19． 解：

（Ⅰ）由题意得
，所以
．

…………………3分

（Ⅱ）由直方图分数在[50,60]的频率为0.05，[60,70]的频率为0.35, [70,80]的频率为0.30,

[80,90]的频率为0.20, [90,100]的频率为0.10, 所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：

………………6分

（Ⅲ）由直方图，得：

第3组人数为
，

第4组人数为
人，

第5组人数为
人．

所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，

每组分别为：

第3组:
人，

第4组:
人，

第5组:
人．

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． …………………9分

设第3组的3位同学为
，第4组的2位同学为
，第5组的1位同学为
，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:

其中恰有1人的分数不低于90分的情形有：

，
，
，
，
，共5种．…………………13分

所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为

20 . 解：（Ⅰ）连结
，∵
是正方体

∴
，
是
在平面
上的射影

∴
就是
与平面
所成的角

在
中，

∴直线
与平面
所成的角的正切值为

…………………6分

（Ⅱ）过
作
于，过作
于，连结

下证
是二面角
的平面角：

由题意
，又
，

又
，
，
，

，
，又
，从而

,故
是二面角
的平面角

在
中，，
，

在
中，
∴
，

∴
∴
，即二面角
的大小为

…………………13分

21．解：（Ⅰ）由题意可知：

…………………3分

（Ⅱ ）设
，
，由题意OM⊥ON，则
，

即
……………（1）

联立直线方程和圆的方程：

消去得到关于的一元二次方程：

直线与圆有两个交点，
，即

又由（Ⅰ）
，

由韦达定理：
……………（2）

又点
，
在直线
上，

代入（1）式得：
，

将（2）式代入上式得到：
,

…………………13分

22. 解：（Ⅰ）设D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),

∵ D是AB的中点， ∴x＝
，y＝
，

∵ |AB|＝2
，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12，

∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝3. …………………5分

（Ⅱ）①当直线l与x轴垂直时，P(1，
)，Q(1，－
)，此时|PQ|＝2
，不符合题意；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为
，由
＝
，解得k＝
.故直线l的方程为y＝
(x－1).

②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，

由消去y得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－3＝0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1＋x2＝
，x1x2＝
，

则
＝(m－x1，－y1)，
＝(m－x2，－y2)，

∴
·
＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2

＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)

＝m2－
＋
＋k2 (
－
＋1)＝

要使上式为定值须
＝1，解得m＝1，∴
·
为定值－2，

当直线l的斜率不存在时P(1，
)，Q(1，－
)，

由E(1，0)可得
＝(0，－
)，
＝(0，
)，

∴
·
＝－2，

综上所述当E(1， 0)时，
·
为定值－2 . …………………14分