一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．

1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为(　　)

A．7 B．15 C．25 D．35

【答案】B

【解析】由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15．

2.下列各数中最小的数为( )

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】

3．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )

A．
B．

C． D．

【答案】A

【解析】原几何体为一个半球，表面积为
．

4．下列说法中正确的是（ ）

A．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接

近概率.

B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平.

C．根据样本估计总体，其误差与所选取的样本容量无关.

D．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半.

【答案】A

【解析】B选项是错的，系统抽样对每个学生而言被抽到概率相等．

C选项是错的，样本容量越大，误差越小．

D选项是错的，数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的
．

5．某产品的广告费用与销售额的统计数据如表：

广告费用 (万元)

4

2

3

5



销售额 (万元)

49

26

39

54



根据表可得回归方程
中的
为
，据此模型预报广告费用为
万元时销售额为( )

A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元

【答案】B

【解析】样本中心点是(3.5,42)，
＝42－9.4×3.5＝9.1，以回归方程是
，把x＝6代入得
＝65.5．

6．设
是不同的直线，
是不同的平面，下列四个命题其中真命题的序号是(　　)

①若
，
，则
； ②若
，
，则
；

③若
，
，则
； ④若
，
，则
．

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】B

【解析】与同一个平面垂直的两条直线互相平行，故①为真命题；当
，
，时，可能有
，也可能有
，故②为假命题；当
，
，则
，也可能有
故③为假命题；与同一条直线垂直的两个平面互相平行，故④为真命题．故选B.

7．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)

A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球

【答案】D

【解析】对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立．

8．如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断

框①处应填入的条件是(　　)

A．
　

B．

C．
　

D．

【答案】B

【解析】第一次循环
；第二次循环
；第三次循环
.此时满足条件跳出循环，输出
.因此判断框①处应填
.故选B.

9．动点到点
的距离是到点
的距离的倍，则动点的轨迹方程为(　　)

A．
B．

C．
　 D．

【答案】B

【解析】设
，则由题意可得
化简整理得

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】A

【解析】由三视图，还原几何体为三棱锥
，

且三条侧棱两两垂直，如图所示，设

则体积
，在
中，
，故
，则
，所以
．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．

14．若曲线
上的任意一点关于直线
的对称点仍在该曲线上，则
最小值是______ ．

【答案】

【解析】因为曲线
上的任意一点关于直线
的对称点仍在该曲线上
．

15．正方体
中,是棱
的中点,是侧面
内的动点,且
平面
,若正方体
的棱长是,则的轨迹被正方形
截得的线段长是________.

【答案】

【解析】取
的中点P，Q.

易证，面
面
，所以点F的轨迹即为线段PQ，

所以点F的轨迹的长度为：
.

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）如图所示:下列程序框图的输出结果构成了数列
的前
项．

（1）求数列的第
项
、第4项
以及数列的递推公式；

（2）证明：数列
为等比数列；并求数列
的通项公式．

解：（1）
．

（2）证明：
，

所以数列为等比
比数列，
．

17．（本小题满分12分）

高二某班
名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于
秒到

秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组
，

第二组
,…，第五组
，如图是按上述分组

方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩在区间
内规定为良好，

求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；

（2）请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数

（精确到
）．

18.（本小题满分12分）三棱柱
，侧棱与底面垂直，

，
，
分别是
，
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）求三棱锥

的体积．

解：（1）连结
，
，

∵
是
，
的中点∴

．

又∵
平面
，∴
平面
．

（2）∵三棱柱
中，侧棱与底面垂直，

∴四边形
是正方形．∴
．

∴
．连结
，
．

∴
，又中
的中点，∴
．

∵
与
相交于点，∴
平面
．

（3）由（2）知
是三棱锥

的高．在直角
中，
，

∴
．又
．
．

19．（本小题满分12分）在
中，
分别是角
的对边，
，
．

（1）求
的值；

（2）若
，求边
的长．

解：（1）

．

（2）
又由正弦定理
得，

解得

．

20．（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥
中，底面
是正方形，
与
交于点
，
底面
，为
的中点．

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）已知
，点
为线段
上的一个动点，直线
与平面
所成角的最大值为
．

①求正方形
的边长；

②在线段
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分14分）已知圆

与直线
交于
两点，动圆过
两点．

（1）若圆圆心在直线
上，求圆的方程；

（2）求动圆的面积的最小值；

（3）若圆与轴相交于两点
（点横坐标大于1）．若过点
任作的一条与圆：
交于
两点直线都有
，求圆的方程．