湖北省部分重点中学2014--2015学年度上学期高二期中考试

理科数学试卷

命题人：武汉中学缪艳青 审题人：武汉四中 李文溢

全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为

A．25 B．30 C．31 D．61

2．已知集合
，
，在区间
上任取一实数，则
的概率为

A.
B.
C.
D.

3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过3次而

接通电话的概率为

A．
B．
C．
D．

4．对某同学的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：

①中位数为84； ②众数为85；

③平均数为85； ④极差为12.

其中，正确说法的序号是

A. ①② B.③④

C. ②④ D.①③

5．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001



k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828



A.0.1% B．1% C．99% D．99.9%

6．执行如下的程序框图，若输入的
，则输出的的范围是

A.[1,3] B.[3,7] C.[7,15] D.[15,31]

7．一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

8．设A、B、C、D是球面上的四点，AB、AC、AD两两互相垂直，且
，

，
，则球的表面积为

A.
B.
C.
D.

9．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：

年龄/周岁

3

4

5

6

7

8

9



身高/cm

94.8

104.2

108.7

117.8

124.3

130.8

139.1



根据以上样本数据，她建立了身高 (cm)与年龄x（周岁）的线性回归方程为
，给出下列结论：

y与x具有正的线性相关关系；

②回归直线过样本的中心点(42，117.1)；

③儿子10岁时的身高是
cm；

④儿子年龄增加1周岁，身高约增加
cm.

其中，正确结论的个数是

A.1 B.2 C. 3 D. 4

10．设点是函数
图象上的任意一点，点

，则
的最小值为

A.
B. C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是_________．

12．已知是
所在平面内一点，
，现将一粒

黄豆随机撒在
内，则黄豆落在
内的概率是_________．

13．过点
引圆
的两条切线，这两条切线与轴和轴围成的四边形的面积是_________．

14．如图所示，
为正方体，给出以下五个结论：

①
平面
；

②
⊥平面
；

③
与底面
所成角的正切值是；

④二面角
的正切值是；

⑤过点
且与异面直线
和
均成70°角的直线有2条．

其中，所有正确结论的序号为________．

15．已知圆

，直线

，给出下面四个命题：

①对任意实数
和
，直线
与圆
有公共点；

②对任意实数
，必存在实数
，使得直线
与圆
相切；

③对任意实数
，必存在实数
，使得直线
与圆
相切；

④存在实数
与
，使得圆
上有一点到直线
的距离为3.

其中，所有正确命题的序号是________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，从中任取3枝，求：

（Ⅰ）取出的3枝中恰有1枝一等品的概率；

（Ⅱ）取出的3枝中一、二、三等品各一枝的概率；

（Ⅲ）取出的3枝中没有三等品的概率.

17．（本小题满分12分）

已知圆

，直线

，且直线
与圆
相交于，两点.

（Ⅰ）若
，求直线
的倾斜角；

（Ⅱ）若点
满足
，求此时直线
的方程。

18．（本小题满分12分）

为了分析某次考试数学成绩情况，用简单随机抽样从某班中抽取25名学生的成绩（百分制）作为样本，得到频率分布表如下：

分数

[50,60）

[60,70）

[70,80）

[80,90）

[90,100]



频数

2

3

9

a

1



频率

0.08

0.12

0.36

b

0.04



（Ⅰ）求样本频率分布表中a，b的值，并根据上述频率分布表，在下表中作出样本频率分布直方图；

（Ⅱ）计算这25名学生的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求至少有1人的成绩在[60，70）中的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
平面
，
，

，
，为
的中点.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若二面角
为
，求直线
与平面
所成角的正切值.

（Ⅲ）若
，求平面
与平面PAB所成的锐二面角的余弦值

20．（本小题满分13分）

已知关于的二次函数

（Ⅰ）设集合
和
，分别从集合，中随机取一个数作为和
，求函数
在区间
上是增函数的概率.

（Ⅱ）设点
是区域
内的随机点，求函数
在区间
上是增函数的概率．

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，已知圆
过坐标原点O且圆心在曲线
上.

（Ⅰ）若圆M分别与轴、轴交于点、（不同于原点O），求证：
的面积为定值；

（Ⅱ）设直线
与圆M 交于不同的两点C，D，且
，求圆M的方程；

（Ⅲ）设直线
与（Ⅱ）中所求圆M交于点、，为直线
上的动点，直线
，
与圆M的另一个交点分别为
，
，求证：直线
过定点.

湖北省部分重点中学2014--2015学年度上学期高二期中考试

理科数学试卷参考答案及评分细则

一、选择题：

1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．A 9．B 10．C

二、填空题：

11．47 12．
13．
14．①②④ 15．①②

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：记3枝一等品为
，2枝二等品为
，1枝三等品为.

从6枝圆珠笔中任取3枝的方法有20种（列举略）.

（Ⅰ）取出的3枝中恰有1枝一等品的方法有9种（列举略），所以，所求概率
. ………………（4分）

（Ⅱ）取出的3枝中一、二、三等品各一枝的概率的方法有6种（列举略），所以，所求概率
………………（8分）

（Ⅲ）取出的3枝中没有三等品的方法有10种（列举略），所以，所求

概率
. ………………（12分）

17．（本小题满分12分）

解：直线

恒过点
,且点
在圆
内,所以直线与圆相交.

（Ⅰ）因为圆心
到直线
的距离
，圆的半径为
，

所以
，解得
.

当
时，直线
的方程为
，斜率为
，倾斜角为
；

当
时，直线
的方程为
，斜率为
，倾斜角为
. …………………（6分）

（Ⅱ）联立方程组

消去并整理，得
.

所以
，
. ①

设
，
，则
，
.

其中
，
.

由
，得
且
.

将
代入①式，解得

点A的坐标为

把点A的坐标代入圆C的方程可得
.

当
时，所求直线方程为
；

当
时，所求直线方程为
. ……………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由
，得
；

由
，得
.

频率分布直方图如下：

…………………（5分）

（Ⅱ）平均数为

；

方差为

.

或

.

…………………（9分）

（Ⅲ）成绩在[50，60）的学生共有2人，记为
，在[60，70）共有3人，记为
.

从成绩在[50，70）的5名学生任选2人的方法有10种（列举略），其中

至少有1人的成绩在[60，70）中方法有9种（列举略），

所以，所求概率
. ………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）取AB的中点F，连结EF，FC，

则
.

因为
平面
，

所以
平面
.

因为
平面
，

所以
.

因为
，

所以
.

因为
平面
，
平面
，

所以
平面
.

因为
平面
，

所以
. …………………（4分）

（Ⅱ）因为
平面
，
平面
，

所以
.

因为
，

所以
平面
.

所以
.

所以
为二面角
的平面角.

所以
.

所以
.

因为
，

所以
.

由（Ⅰ）知，
为
与平面
所成的角.

因为
，

所以直线
与平面
所成角的正切值为2. ………………（8分）

（Ⅲ）过点作
，

由
平面
，
，

由
平面
，
，

，
为所求锐二面角的平面角

………………（12分）

20．（本小题满分13分）

解：要使函数
在区间
上是增函数，则
且
，即
且
.

（Ⅰ）所有
的取法总数为
个，满足条件的
有
，
，
，
，
，
，
，
，
，